LeetCode 62. Unique Paths

题目描述

知识点

动态规划

结果

实现

码前思考

1. 今天一天都在写动态规划，写的脑子有些迷迷糊糊的，去看了一篇文章——动态规划解题套路框架。虽然还是一些概念，但是温故而知新，我更加深入的了解了重叠子问题和最优子结构。
2. 这道题目应该不能算严格意义上的动态规划，因为它没有体现最优的概念，动态规划问题一般是用来求解最优化问题的。但是，这道题目和斐波拉契数列很像，还是把它看作动态规划吧。参考之前看的那篇文章的思路，我尝试使用解动态规划问题的框架来思考：
3. 划分子问题：求到点$(i,j)$的独立路径，由于到点$(i,j)$只能由$(i-1,j)$和$(i,j-1)$而来，那么到$(i,j)$的独立路径就是到$(i-1,j)$和$(i,j-1)$的独立路径之和，可以分析到$(i-1,j)$和$(i,j-1)$的独立路径是不会重叠的，它们是独立的。
   综上，最优子结构中的划分子问题解决，通常这一步很关键，一般的话，我都是先用暴力来试探怎么求解问题，看能不能通过暴力来发现子问题的存在，这道题里由子问题到原问题比较简单，只是加法，在难一点的动态规划问题中情况会复杂很多，通常会涉及到各种if和for！
4. 确定状态：上述原问题和子问题的区别在于坐标，因此状态是坐标；
5. 确定dp数组的意义：通常它的含义就是问题，因此是到坐标$(i,j)$的独立路径数；
6. 确定边界条件：边界条件通常是数组的边界出现在越界的地方，这里就是第一列和第一行的dp值要初始化为1。
7. 综上4点，我们就能得到状态转移方程了。

代码实现

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        //dp数组
        vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(m+1,0));

        dp[1][1] = 1;

        //进行初始化,base case,虽然最早写，但是分析时是最晚分析的
        for(int j=2;j<=m;j++){
            dp[1][j] = 1;
        }
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i][1] = 1;
        }

        //开始进行递推求解,一行一行算
        for(int i=2;i<=n;i++){
            for(int j=2;j<=m;j++){
                dp[i][j] = dp[i][j-1]+dp[i-1][j];
            }
        }

        return dp[n][m];        
    }
};

码后反思

1. 唉，做动态规划的题目要脑袋里面时刻清醒，要记住动态规划来自于暴力穷举，只是对暴力穷举进行了优化，我们可以先从暴力入手，从暴力里面抽取动态规划思想；
2. 加油，继续努力，多实践，多反思，多总结。