概率论与数理统计学习笔记一：事件的概率

参考文献：《概率论与数理统计》-陈希孺

1. 概率是什么

    1）主观概率

        （1）主观概率含义：为根据其经验和知识及利害关系的一种心态或倾向性

        （2）主观概率特点：不是在坚实的客观理由基础上为人们所公认；但不能从科学角度简单的全盘否定，（a）该概念有广泛的生活基础；（b）可能反映认识主体的一种倾向性，而有其社会意义；（c）在涉及利益得失的决策中，处于不同地位和掌握情报多少不同的人，对某事件可能性大小要参照这些情况及可能的后果去做衡量

    2）试验与事件

        （1）试验：人为主动

        （2）事件：

                a）事件含义：（a）有一个明确界定的试验；（b）这个试验的全部可能结果（不超出某个范围），是在试验前就明确的；（c）对界定试验的全部可能结果中一确定的部 分由明确的陈述

                b）基本事件：单一的试验结果

                c）事件是对某种情况的陈述

    3）古典概率

        （1）“等可能”试验结果-->

        （2）古典概率的定义：设一个试验有N个等可能的结果，而事件E恰包含其中的M个结果，则事件E的概率，P(E) = M/N

        （3）古典概率是“客观”的

        （4）古典概率的计算主要基于排列组合

        （5）古典概率的局限性：只能用于全部试验结果为有限个，且等可能性成立的情况

    4）概率的统计定义（通过实验去估计事件概率）

       （1） 实用角度：通过实验去估计时间概率的方法

       （2）要点：该试验必须能在同样条件下大量次数重复执行，以便有可能观察该事件的频率

        （3）统计定义：当试验次数无限增大时，频率的极限

        （4）统计定义意义：提供概率的估计方法；提供一种检验理论正确与否的准则

    5）概率的公理化定义

        （1）1993年前苏联大数学家柯尔莫哥洛夫实现概率论的公理化

        （2）柯氏公理体系：

                概率是事件的函数

                函数的定义域为抽象的集合，该集合的元素为基本事件

                概率值属于[0,1]

                由集合所有元素构成事件的概率为1

                事件为空集的概率为0

        （3）柯氏公理的意义：为一种普遍而严格的数学化概率理论奠定了基础

2. 古典概率计算

1） 排列组合的几个简单公式

古典概率归结为计算两个数M和N，这种计算大多涉及排列组合

（1）n个相异物件取r个的不同排列总数，为n*(n-1)*(n-2)*...*(n-r+1)

（2）n个相异物件取r个的不同组合总数，为n!/(r!*(n-r)!)

（3）与二项式展开的关系：组合系数常称为二项式系数

（4）n个相异物件分成k堆，各堆物件数分别为r1,...rk的分法：n!/(r1! *...*rk!)

3. 事件的运算、条件概率与独立性

1）事件的蕴含、包含和相等

        在同一试验下的两事件A和B，如果当A发生时B必发生，则称A蕴含B，或者说B包含A；若A，B互相蕴含，则称A，B两事件相等

2）事件的互斥和对立

        互斥：两事件不在同一次试验中发生，则称它们是互斥的。如果一些事件中的任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的，简称互斥

        对立：是互斥事件的一种重要情况，若A为一事件，则B={A不发生}为A的对立事件

3）事件的和（并）

        定义一个事件：指出它何时发生，何时不发生

        事件的和：设有两事件A，B，则定义事件C={A发生，或B发生}={A，B至少一个发生}为事件A和事件B的和

        事件和推广到多个事件的情形

4）概率的加法定理

        定理3.1：若干个互斥事件之和的概率，等于各事件的概率之和。柯氏公理体系的第3条

        系3.1（定理3.1的推论）：事件A的对立事件的概率=1 - 事件A的概率

5）事件的积（交）、事件的差

        事件的积：设有两事件A，B，则定义事件C={A，B都发生}为两事件之积

        事件的差：事件A和事件B的差 A-B = {A发生，B不发生}

6）条件概率

        条件概率定义：在附加一定条件下所计算的概率。附加条件形式可归结为“已知某时间发生了”

        无条件概率定义：不加入其他条件或假定所计算出的概率

        定义3.1： 设有两事件A，B，而P(B)非0，则“在给定B发生的条件下A的条件概率” P(A|B) = P(AB) / P(B)。。。。。（古典概率模式分析推导）

        条件概率的计算：利用定义3.1；直接从加入条件后改变了的情况计算

7）事件的独立性，概率乘法定理

        若P(A)=P(A|B)，则B的发生与否与A发生的可能性毫无影响，由定义3.1可知P(AB) = P(A)*P(B)

        定义3.2（两事件的独立性）：两事件若满足上式，则称A，B独立

        定理3.2（概率的乘法定理）：两独立事件之积的概率等于其各自概率之积

        定义3.3（多事件的独立性）：设A1，A2，...为有限或无限个事件，如果从其中任意取出有限个Ai1，Ai2，...，Aim都成立P(Ai1Ai2...Aim) = P(Ai1)*P(Ai2)*...*P(Aim)，则称事件A1，A2，...相互独立，或独立

        多个事件的独立性往往产生于多个试验构成的复合试验中，每个事件只与其中一个试验有关

        定理3.3（多个独立事件的乘法定理）

        系3.2（独立性定义推论）：独立事件的任一部分也独立

        系3.3（独立性定义推论）：若一系列事件相互独立，则将其中任一部分改为对立事件时，所得事件列仍为相互独立

        两两独立：一些事件中任意两个事件都独立，则称它们两两独立

        相互独立必推出两两独立，反之不一定对

8）全概率公式与贝叶斯公式

        完备时间群

        全概率公式：由原因推导结果

        贝叶斯公式：在全概率公式的假定之下推导；由结果推导原因