银联高校极客挑战赛 复赛（A,B，思维+数学）

A

题目描述

现在已经是暑假了！这周日，码队的弟弟所在的班级——上海某中学高二 33 班的同学们准备在码队弟弟的带领下（码队的弟弟是这个班的班长），举办一场派对。

码队的弟弟让两名同学打开手机 「云闪付」app，在云闪付在线商城上采购饮料。经过这两名同学统计，发现一共需要买 nn 瓶饮料。而在云闪付在线商城上，一共有 mm 种不同的饮料（包括「肥宅快乐水」，并假设云闪付在线商城上的每种饮料的购买数量都没有限制）。由于码队的弟弟喜欢喝「肥宅快乐水」，所以这两名同学决定至少要买一瓶「肥宅快乐水」。

这样看来，饮料购买的方案实在是太多了！两位同学突发奇想，想让你帮忙计算：总共有多少种购买饮料的方案。（答案对 10^9 + 7109+7 取模，同种饮料都是一样的，不作区分。）

输入格式

有多组数据。

第一行输入一个整数 TT, 表示有 TT 组数据（ 1\le T \le 10^41≤T≤104 ）。

对于每一组测试数据：输入一行，包含两个整数 n, mn,m，以空格分隔，分别表示这两位同学需要买 nn 瓶饮料（其中必须有一瓶是「肥宅快乐水」），云闪付在线商城中一共有 mm 种包括「肥宅快乐水」在内的不同的饮料。（1 \le n,m \le 10^31≤n,m≤103）

输出格式

对于每一组测试数据，输出一行。

每行只包含一个整数，表示有多少种购买饮料的方案。

提示

假设我们用 FF 表示「肥宅快乐水」，用 AA 表示某种其他饮料。


针对样例输入 1：


对于第一组测试数据，只有 11 种购买饮料的方案：（FF）。


对于第二组测试数据，有 22 种购买饮料的方案：（FF, FF），（FF, AA）。

输出时每行末尾的多余空格，不影响答案正确性

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2
1 1
2 2

样例输出1复制

1
2

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3
1 2
2 3
3 3

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1
3
6

真菜！！只做出了A题~~~这里写一下A,B题，题解~~

题意：买n瓶水有m种，每种有很多，至少要买一瓶肥宅快乐水，其他的随便买，问多少种方法

题解：经典隔板法，我跟官方题解方法不一样，我是每次枚举买几种，在这一类中有多少方法，进行分步乘法求和即可~~

上代码：

#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX = 1e6+100;
const int mod = 1e9+7;
ll f[MAX],finv[MAX],inv[MAX];//f是阶乘,finv是逆元的阶乘
void init(){
	inv[1]=1;
	for (int i = 2; i < MAX;i++){
		inv[i]=(mod-mod/i)*1ll*inv[mod%i]%mod;
	}
	f[0]=finv[0]=1;
	for (int i = 1; i < MAX;i++){
		f[i]=f[i-1]*1ll*i%mod;
		finv[i]=finv[i-1]*1ll*inv[i]%mod;
	}
}
ll comb(int n,int m){//comb(n, m)就是C(n, m)
	if(m<0||m>n) return 0;
	return f[n]*1ll*finv[n-m]%mod*finv[m]%mod; 
}
int main(){
	init();
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		int n,m;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		ll ans=0;
		n--;//去掉必须买的那一瓶
		for (int i = 1; i <= m && i <= n;i++){
			ans=(ans+comb(m,i)*comb(n-1,i-1))%mod;
		}
		if(ans==0) ans=1;//如果n是1就只有一种方法，因为n减1后是0，所以特判一下
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

B

题目描述

码队的弟弟喜欢做数学题。这不，听说你也喜欢做数学题，码队的弟弟非常高兴，决定立刻送给你一道数学题，请你完成。

给定三个整数 n,m,pn,m,p ，求满足 a \times b = k \times pa×b=k×p (( 1 \le a \le n, 1 \le b \le m, k1≤a≤n,1≤b≤m,k为任意正整数 )) 的整数对 (a,b)(a,b) 的数量。

输入格式

有多组数据。

第一行输入一个整数，表示有 TT 组数据（ 1 \le T \le 101≤T≤10 ）。

对于每一组测试数据：输入一行，包含三个整数 n,m,pn,m,p ，以空格分隔（ 1 \le n,m \le 10^9, 1 \le p \le 10^51≤n,m≤109,1≤p≤105 ）。

输出格式

对于每一组数据，输出一行。

每行只包含一个整数，表示满足条件的整数对的数量。

提示

针对样例输入1：一共有 55 个整数对，分别是 (1,3),(2,3),(3,3),(3,1),(3,2)(1,3),(2,3),(3,3),(3,1),(3,2)。

输出时每行末尾的多余空格，不影响答案正确性

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1
3 3 3

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5

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1
10 20 15

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29

题意：输入n，m，p 求a*b=k*p （k是任意正整数，a是1-n，b是1-m）有多少对（a，b） 满足这个式子

题解：这是个经典问题，自己太菜，没接触过，官方题解写的很清楚，我再加点解释，

a的构造方法，很奇妙，任意一个数都可以写成这种形式，x=n/p，是因为构造形式，显而易见，最后解释一下第（3）中为什么是到 x-1 因为在第三种条件下，k1*x+r>n,即a>n,不符合题意，解释完毕，然后计数就是用 k1的种类数*b的种类数（因为k1的种类数，代表了a的种类数，即x或者x+1）上代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;//要用ll，下面相乘会超int
int main(){
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		ll n,m,p;
		scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
		ll x=n/p;
		ll ans=0;
		for (ll r = 0; r < p;r++){
			ll w=m/(p/__gcd(r,p));//b的种类数
			if(r==0) ans+=x*w;//第一种情况，a是x种
			else if(r>0&&r<=n%p) ans+=(x+1)*w;//第二种情况，a是x+1种
			else ans+=x*w;//第三种情况，a是x种
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}