总结与思考：数论分块

关于$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$的值域大小

当$1\le i\le \lfloor \sqrt{n}\rfloor$时，$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$的不同数值个数显然是不超过$\lfloor \sqrt{n}\rfloor$。

当$\lfloor \sqrt{n}\rfloor <i\le n$时，因为$1\le \lfloor \frac{n}{i}\rfloor \le \sqrt{n}$，所以不同数值个数还是不超过$\lfloor \sqrt{n}\rfloor$。

综合上述两种情况，$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$的不同数值个数严格不大于$2\sqrt{n}$

数论分块的相关概念

“数论分块”这个名词，其实比较模糊，没有一个广泛认同的严格定义。这里讲一下我个人的理解：

令$f(i)=\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$

$f(i)$的值，随着$i$的增加而单调不增，如果我把$f(1),f(2),\dots ,f(n)$从左到右排开，会发现其值呈现出“块状”，每一个“块”就是连续的一段，每个“块”中$f(i)$的值都是相同的

举个例子，$n=5$

$f(1)=5,f(2)=2,f(3)=f(4)=f(5)=1$，一字排开，得到$5,2,1,1,1$，相同的分到一个“块”中，直观一点，写成：$[5],[2],[1,1,1]$

数论分块从直观上来讲就是这个现象

数论分块中，块的右端是个很重要的位置。比如例子$n=5$中，三个块右端的编号分别是$1,2,5$

结论一：假设某个块的$f$值为$t$，那么这个块右端的下标是$\lfloor \frac{n}{t}\rfloor$

如果一个块的$f$值是$t$，对于其中的数$x$，应当满足$\lfloor \frac{n}{x}\rfloor =t$，即$n=tx+r(0\le r<x)$，从这个式子中就可以看出$x$的取值是连续的一段整数。块的右端就是满足上式的最大$x$，也就是说$xt\le n$的最大$x$，那么显然$x_{max}=\lfloor \frac{n}{t}\rfloor$

结论二：f(i)的值域和块右端下标集合是相同的

比如上面那个例子，值域是$\{1,2,5\}$，块右端下标集合也是$\{1,2,5\}$

解释：

假设一个块的$f$值是$t$，右端是$x$，那么$\lfloor \frac{n}{t}\rfloor =x,\lfloor \frac{n}{x}\rfloor =t$

也就是说$x$和$t$一一对应，不同块的$f$值不会相同，一个$f$值也不会对应多个块，这就说明了块“右端“集合和$f$的值域值域这两个集合大小相同

那么元素是否也是相同的呢？是的，因为假设一个元素$p$属于"块右端"集合，那么根据“块右端”的计算方法，得知某个肯定存在某个$t$使得$\lfloor \frac{n}{t}\rfloor =p$，也就是$f(t)=p$，也就是说$p$也属于$f$的值域值域集合。

因为两个集合大小相同，而且“块右端”集合中的每个元素也在值域集合中出现，所以这两个集合相等

结论三：当$x\le \lfloor \sqrt{n}\rfloor$时，$f(x)$的值严格单调增

上面提到过一个式子：

$$n=tx+r(0\le r<x)$$

当$x<\lfloor \sqrt{n}\rfloor$的时候，如果我在上式中用$x+1$替换$x$，假设$t$可以保持不变，那么就有

$$n=t(x+1)+r^{\prime }(0\le r^{\prime }<x+1)$$

也就是$n=tx+(t+r^{\prime })$，那么$t+r^{\prime }=r$

但是由于$x<\lfloor \sqrt{n}\rfloor$，所以$t=\lfloor \frac{n}{x}\rfloor >\lfloor \sqrt{n}\rfloor >x$

那么显然$t+r^{\prime }>x$

也就是与我一开始的假设相矛盾了

从而也就证明了结论三

小技巧

在杜教筛中，我们要存储$S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$的所有可能值

如果单纯考虑空间最优，我们应该只需要开$O(\sqrt{n})$规模的空间

但是算法还受到时间限制，最后通过均值不等式我们发现最好是预处理到$O(n^{\frac{2}{3}})$可以得到一个最优的时间复杂度。当然实际中还是要调参，因为各个部分的时间占比并非相同。

回归正题，在$min25$筛和杜教筛中我们都要解决一个问题：存储一些数据，这些数据的下标很大，但是这些下标都在$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$的值域中。根据本文所介绍的理论，当$i\le \lfloor \sqrt{n}\rfloor$的时候直接块右端（根据结论三，块右端就是$1,2,\dots ,\lfloor \sqrt{n}\rfloor$）为下标，而当$i>\lfloor \sqrt{n}\rfloor$的时候以值为下标。

大的部分想调用的时候，直接计算一下块右端下标就可以访问了。

这样调用是$O(1)$的，显然比用map或者unorderd_map快得多