离散数学 06.02 群的定义

§6.2群的定义 

群论的研究起源于19世纪，它是由于方程论的需要，首先作为置换群的理论发展起来的。随后，发现在大多数问题中，重要的不是构成群的置换本身，而应该是集合在代数运算下的性质，因而提出了一般群的概念。一般群论的建立，不仅扩大了群论研究的对象和应用，而且还可以从这种不同的群得到多方面的启发，从而丰富了群论研究的方法，促进了群论的发展。群论是近世代数数学中发展得最充分的部分，在自然科学个学科中得到了广泛的应用。例如在自动化理论，编码理论，快速加法器的设计等方面，群的应用已日趋完善。

6.2.1半群 

定义6.2.1.设G是一个非空集合，若为G上的二元代数运算，且满足结合律，则称该代数系统(G,⋅)为半群。 
例6.2.1.设S是一个非空集合，ρ(S)是S的幂集，∩和∪是ρ(S)上的交运算和并运算，则(ρ(S),∩)为半群，(ρ(S),∪)为半群。 
例6.2.2.设Z为整数集，+、−、⋅是数的加法、减法和乘法，则(Z,+),(Z,⋅)都是半群；(Z,−)不是半群，因为减法不满足结合律。 
例6.2.3.设N为自然数集，规定N上的运算⊙如下：a⊙b=a+b+a⋅b,其中+、⋅是数的加法和乘法,a,b是N中任意元素。⊙为N上的二元代数运算。对N中任意三个元素a、b、c,有:(a⊙b)⊙c=(a+b+a⋅b)⊙c=(a+b+a⋅b)+c+(a+b+a⋅b)⋅c=a+b+c+a⋅b+b⋅c+a⋅c+a⋅b⋅c,a⊙(b⊙c)=a⊙(b+c+b⋅c)=a+(b+c+b⋅c)+a⋅(b+c+b⋅c)=a+b+c+a⋅b+b⋅c+a⋅c+a⋅b⋅c,故，(a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c),⊙满足结合律，因此，(N,⊙)为半群。 

例6.2.4.设S是一个非空集合，规定S上的运算如下：ab=b,其中a,b是S中任意元素。显然为S上的二元代数运算。对S中任意三个元素a,b,c,有：(ab)c=bc=c,a(bc)=ac=c,故，(ab)c=a(bc),满足结合律，因此，(S, )为半群。 

6.2.2群 

定义6.2.2.设(G,⋅)为半群，如果满足下面条件:(1)G中有一个元素1，适合对于G中任意元素a,都有1⋅a=a⋅1=a;(2)对于G中任意a,都可找到G中一个元素a −1 ，满足a⋅a −1 =a −1 ⋅a=1,则称(G,⋅)为群。元素1称为单位元素，a −1 称为逆元素。如果群G包含的元素个数有限，则称G为有限群，否则称G为无限群。 
用|G|表示有限群G包含的元素个数。 

例6.2.6.设Q为所有有理数组称的集合，R为所有实数组成的集合，C为所有复数组成的集合，Q ∗ 为所有非零有理数组成的集合，R ∗ 为所有非零实数组成的集合,C ∗ 为所有非零复数组成的集合，+,⋅是数的加法和乘法，则(Q,+),(R,+),(C,+)都是群；(Q,⋅),(R,⋅),(C,⋅)都不是群，因为0无逆元素；(Q ∗ ,⋅),(R ∗ ,⋅),(C ∗ ,⋅)都是群。 

例6.2.7.设S是一个非空集合，P(S)是S的幂集，∩和∪是ρ(S)上的交运算和并运算，则(1)半群(ρ(S),∩)不是群，虽然存在单位元素S，但不是任意元素都存在逆元素;(2)半群(ρ(S),∪)也不是群，虽然存在单位元素:空集，但不是任意元素都存在逆元素。 

例6.2.8.例6.2.3中半群(N,⊙)不是群，因为不存在单位元素。假定有单位元素，设为e,则对N中任意元素a,都有e⊙a=a,即e+a+e⋅a=a,因此，e=0,但0∉N。 

例6.2.9.例6.2.4中半群(S,⊕)也不是群，因为不存在单位元素。 
例6.2.10.设A是实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合，∗为矩阵的乘法，则(A,∗)是群。 
例6.2.11.设S={0,1,2,⋯,m−1},规定S上的运算⊕如下: 
a⊕b{a+ba+b<ma+b−m当a+b≥m , 
其中a,b是S中任意元素，+、−为数的加与减。则(S,⊕)是群，称为模m的整数加法群。 

6.2.3群的性质 

定理6.2.1.设(G,⋅)是一个群，则G中恰有一个元素1适合1⋅a=a⋅1=a,而且对于任意a恰有一个元素a −1 适合a⋅a −1 =a −1 ⋅a=1。 
证明：若1和1 ′ 都是单位元素，则1 ′ =1⋅1 ′ =1,故1 ′ =1。若b和c都有a −1 的性质,则b=b⋅1=b⋅(a⋅c)=(b⋅a)⋅c=1⋅c=c,故b=c。也就是说群的单位元素是唯一的，任意元素的逆也是唯一的。且(a −1 ) −1 =a。 

定理6.2.2.群定义中的条件：(1)和(2)可以减弱如下:(1) ′ G中有一个元素左壹适合1⋅a=a;(2) ′ 对于任意a,有一个元素左逆a −1 适合a −1 ⋅a=1。 
证明：只要证明由(1) ′ ,(2) ′ (和其余条件联合)可以推出(1)和(2)，即只需证明a⋅1=a和a⋅a −1 =1。 
先证a⋅a −1 =1。因为(a −1 ⋅a)⋅a −1 =1⋅a −1 =a −1 ,故(a −1 ⋅a)⋅a −1 =a −1 。由(2) ′ ,a −1 也应该该由一个左逆适合b⋅a −1 =1。于是，一方面有：b⋅((a −1 ⋅a)⋅a −1 ))=b⋅a −1 =1,另一方面有：b⋅((a −1 ⋅a)⋅a −1 )=(b⋅a −1 )⋅(a⋅a −1 )=1⋅(a⋅a −1 )=a⋅a −1 ,因此，a⋅a −1 =1。再证a⋅1=a。事实上，a⋅1=a⋅(a −1 ⋅a)=(a⋅a −1 )⋅a=1⋅a=a。自然，把(1) ′ ,(2) ′ 中对左边的要求一律改成对于右边的要求也是一样。 

定理6.2.3.群定义中的条件(1)和(2)等于下列可除条件:对于任意a,b,有x使x⋅a=b,又有y使a⋅y=b。 
证明：首先证明在任一群中可除条件成立。因为，取x=b⋅a −1 ,y=a −1 ⋅b,即得x⋅a=b,a⋅y=b,故，由(1)和(2)可以推出可除条件成立。再证明由可除条件也可以推出(1) ′ ,(2) ′ ,因而可以推出(1),(2)。事实上，取任意c∈G,命1为适合x⋅c=c的x,则1⋅c=c。对于任意a,有y使c⋅y=a,故1⋅a=1⋅(c⋅y)=(1⋅c)⋅y=c⋅y=a，即(1) ′ 成立。至于(2) ′ 只要令a −1 为适合x⋅a=1的x,则a −1 ⋅a=1。 

定理6.2.4.设G是一个群，在一个乘积a 1 …a n 中可以任意加括号而求其值。 
证明：要证明定理，只需证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右加括号所得的积(…((a 1 ⋅a 2 )⋅a 3 )…⋅a n−1 )⋅a n (1)(1)式对于n=1,2成立；对于n=3,由结合律也成立。现在对n用归纳法，假定对于少于n个因子的乘积(1)式成立，试证对于n个因子的乘积(1)式也成立。 
a 1 …a n 任意加括号而得到的乘积A，求证A等于(1)式。设在A中最后一次计算是前后两部B与C相乘:A=(B)⋅(C)C的因子个数小于n，故由归纳法假设，C等于按次序自左而右加括号所得的乘积(D)⋅a n 。由结合律，A=(B)(C)=(B)⋅((D)⋅a n )=((B)⋅(D))⋅a n 。但(B)⋅(D)的因子个数小于n，故由归纳法假设，(B)⋅(D)等于按次序由左而右加括号所得的乘积(B)⋅(D)=(…((a 1 ⋅a 2 )⋅a 3 )…⋅a n−2 )⋅a n−1 因而A=((B)⋅(D))⋅a n =((…((a 1 ⋅a 2 )⋅a 3 )…⋅a n−2 )⋅a n−1 )⋅a n 即A等于(1)式。n个连乘所得的积乘为a的n次方，记为a n 。我们规定a 0 =1,a −n =(a n ) −1 。象在普通代数中一样，可以证明对于任意整数m,n,a m ⋅a n =a m+n ,(a m ) n =a mn 。 

定义6.2.3.若群(G,⋅)的运算⋅适合交换律，则称(G,⋅)为Abel群或交换群。 
定理6.2.5.在一个Abel群(G,⋅)中，一个乘积可以任意颠倒因子次序而求真值。 
证明：考虑一个乘积a 1 ⋅…⋅a n 。设σ是{1,…,n}上的一个一对一变换，欲证a σ(1) ⋅…⋅a σ(n) =a 1 ⋅…⋅a n 对n用归纳法，n=1时只有一个a 1 定理成立，假定n−1时定理成立，证明n时定理亦成立。设将a 1 ⋅…⋅a n 中各因子任意颠倒次序而得一式P=a σ(1) ⋅…⋅a σ(n) 因子a n 必在P中某处出现，因而P可以写成P=(P ′ )⋅…⋅a n ⋅(P ′′ )P ′ 或P ′′ 中可能没有元素，但照样适用以下的论证，由交换律，P=P ′ ⋅(a n ⋅P ′′ )=P ′ ⋅(P ′′ ⋅a n )=(P ′ ⋅P ′′ )⋅a n ,现在P ′ ⋅P ′′ 中只有n−1个元素a 1 ,⋯,a n−1 ,只不过次序有颠倒，故由归纳法假定，P ′ ⋅P ′′ =a 1 ⋅…⋅a n−1 。因此，P=(P ′ ⋅P ′′ )⋅a n =a 1 ⋅…⋅a n−1 ⋅a n ，从而归纳法完成。定理得证。 

在Abel群中，有第三指数律：(a⋅b) m =a m ⋅b m ,m为任意整数。 
如果群G的运算不写做乘⋅而写做加+,则G叫做一个加法群，我们永远假定一个加法群是Abel群:a+b=b+a在乘法群中写做1的现在写作0：a+0=a在乘法群写做a −1 而称为a的逆的，现在写做−a而称为a的负:a+(−a)=0n为任意整数时，在乘法群中写做a n 而称为a的n次方的，现在写做na而称为a的n倍。三个指数律现在成为下面的形式：(m+n)a=ma+na,m(a+b)=ma+mb,m(na)=(mn)a。