数学建模介绍

数学建模介绍

 

1  建模竞赛的由来

从1938年以来由美国数学协会（Mathematical Association of America, MAA）每年举行一次大学生数学竞赛（即普特南数学竞赛），该竞赛由各大学自愿组队（每队三人）参加，属于纯粹数学竞赛，没有应用，不能使用任何资料和设备。四十多年以后，该竞赛出现了一些实际问题：纯粹的数学竞赛限制了非数学系学生，影响了积极性；大多数学生对数学的实际应用问题感兴趣；竞赛不使用计算机等。自1983年就有人提出应该搞一个普特南应用数学竞赛，经过多方论证，终于在1985年由美国应用数学学会（the Consortium for Mathematics and Its Applications, COMAP）、工业与应用数学学会（Society for Industrial and Applied Mathematics, SIAM）和运筹学学会（The Operations Research Society of America, ORSA）联合举办了第一届数学模型竞赛，这就是现在的美国MCM（Mathematical Contest in Modeling）。第一届仅有美国国内的70所大学90个队参加，后来逐步发展为国际型的竞赛。

1988年北京理工大学的叶其孝教授访美时，同当时美国MCM的负责人B.A.Fusaro教授商定了中国大学生组队参赛的有关事宜，并于1989年北京、上海、西安等地的几所重点院校首次参加了美国的MCM，取得了好成绩。1990年和1991年上海率先举行了“上海市大学生数学模型竞赛”，1992年4月西安市也举办了“第一届大学生数学模型竞赛”，1992年11月和1993年11月由中国工业与应用数学学会（China Society for Industrial and Applied Mathematics, CSIAM）组织举办了“全国大学生数学模型联赛”。从1994年开始成为全国性的竞赛活动，国家教委高等教育司于1994年3月和1995年3月两次给各省（市）教委（高教局）发出“关于组织大学生数学建模竞赛的通知”和“全国大学生数学建模竞赛章程”，并要求做好组织工作。自此，建模竞赛慢慢铺开，影响越来越大。

2  建模竞赛的规则和方法

建模竞赛的目的是：激励学生学习数学的积极性；培养学生建立和运用数学模型、计算机技术解决实际问题的综合能力；鼓励学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创新精神。同时在社会的数学化和数学的社会化的今天，也是为了在各学科领域进一步地发展和运用数学技术，从而有力地推动和促进科学技术的发展。

建模竞赛由全国竞赛组委会主持，负责拟定赛题、组织全国优秀答卷的评定和评奖、印制证书等等。竞赛采用通讯方式，由各赛区组织进行。参赛学生三人一队，每队可设一名指导教师，负责培训指导和参赛的组织工作。竞赛由学生独立完成，可以使用各种图书资料、计算机和软件。竞赛一般在每年9月中旬的第二个周五举行，竞赛时间为三天三夜72小时，要求在规定时间内完成一篇内容完整的论文（即答卷）。

 

3  建模命题

    全国大学生数学建模竞赛组委会由国内从事数学模型的著名专家教授组成，下设有命题小组。竞赛题来源于工程技术和管理科学等方面的实际问题，由命题小组经过适当简化加工而形成的。赛题有明确的实际背景，没有预定的标准答案，且有较大的灵活性，供参赛者充分发挥其创造能力和想象能力。

 

赛题	解法
93A非线性交调的频率设计	拟合、规划
93B足球队排名	图论、层次分析、整数规划
94A逢山开路	图论、插值、动态规划
94B锁具装箱问题	图论、组合数学
95A飞行管理问题	非线性规划、线性规划
95B天车与冶炼炉的作业调度	动态规划、排队论、图论
96A最优捕鱼策略	微分方程、优化
96B节水洗衣机	非线性规划
97A零件的参数设计	非线性规划
97B截断切割的最优排列	随机模拟、图论
98A一类投资组合问题	多目标优化、非线性规划
98B灾情巡视的最佳路线	图论、组合优化
99A自动化车床管理	随机优化、计算机模拟
99B钻井布局	0-1规划、图论
00A DNA序列分类	模式识别、Fisher判别、人工神经网络
00B钢管订购和运输	组合优化、运输问题
01A血管三维重建	曲线拟合、曲面重建
01B 工交车调度问题	多目标规划
02A车灯线光源的优化	非线性规划
02B彩票问题	单目标决策
03A SARS的传播	微分方程、差分方程
03B 露天矿生产的车辆安排	整数规划、运输问题
04A奥运会临时超市网点设计	统计分析、数据处理、优化
04B电力市场的输电阻塞管理	数据拟合、优化
05A长江水质的评价和预测	统计分析、数据处理
05B DVD在线租赁	随机模拟、优化
06A出版社的资源配置	优化、统计分析
06B艾滋病疗法的评价及疗效的预测	微分方程
07A中国人口增长预测	微分方程、统计
07B乘公交，看奥运	图论、网络优化
08A数码相机定位	图形图像处理
08B高等教育学费标准探讨	统计分析、数据处理
09A制动器试验台的控制方法分析	微分方程、拟合
09B眼科病床的合理安排	统计分析、数据处理、优化

赛题发展的特点：

⑴ 选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，计算机模拟和以算法形式给出最终结果。

⑵ 赛题的开放性增大：解法的多样性，一道赛题可用多种解法，开放性还表现在对模型假设和对数据处理上。

 

4  建模竞赛的评卷与评奖

    参赛论文首先在所在赛区内进行评奖，确定出一等奖、二等奖和三等奖，其余合格的参赛论文为成功参赛奖。从一等奖中选出优秀的送往国家，评出国家一等奖和二等奖。建模竞赛章程规定：“赛成绩记入学生档案，对成绩优秀的参赛学生，各院校在评优秀生、奖学金及报考（或免试直升）研究生时应予以适当考虑。对指导教师的辛勤努力应予以表彰。”

 

5  参赛队员的选择与组队

    首先向全校学生发出通知，实行自由报名。然后经过一段时间的培训，采取笔试和平时的表现象结合的方式来确定最终的参赛队员。

    如何组队呢？最后指导教师会根据大家的实际情况，并考虑学生的意见经行组队，尽量做到三名队员优势互补，达到最佳效果。

如果选拔队员和如何才能达到最佳效果？这首先就是一个数学建模问题。

 

6  数学建模的方法和步骤

6.1 数学建模方法

数学建模一般是通过问题的实际背景，给出一些已知信息，这些信息可以是一组实测数据或模拟数据，也可以是若干参数、图形，或者仅给出一些定性描述，依据这些信息建立数学模型的方法有很多。依据依对问题结构的了解程度可以分为三类方法：

（1）机理分析方法：主要是根据实际中的客观事实进行推理分析，用已知数据确定模型的参数，或直接用已知参数进行计算。

（2）构造分析方法：首先建立一个合理的模型结构，再利用已知信息确定模型的参数，或对模型进行模拟计算。

（3）直观分析方法：通过对直观图形、数据进行分析，对参数进行估计、计算，并对结果进行模拟。

依据求解模型所使用的数学手段可以分为两类方法：

（1）数值分析方法：对已知数据进行数值拟合，可选用插值方法、差分方法、样条函数方法、回归分析方法等。

（2）数学分析方法：用“现成”的数学方法建立模型，如图论、微分方程、规划论、概率统计方法等。

从数学建模（实际应用）的角度出发，可能会同时使用几种方法，只不过有主有次罢了。

为了大家能够较好地掌握这些方法，我们主要以在建模中使用的不同方法来组织建模培训的。

6.2 数学建模的步骤

数学建模是一种创造性的过程，它需要相当高的观察力、想象力和灵感。数学建模的过程是有一定阶段性的，要解决的问题都是来自于现实世界之中。数学建模的过程就是对问题进行分析、提炼，用数学语言做出描述，用数学方法分析、研究、解决，最后回到实际中去，应用于解决和解释实际问题，乃至更进一步地作为一般模型来解决更广泛的问题。数学建模的流程为

实际问题→抽象、简化问题，明确变量和参数→根据某种定律建立变量和参数间的数学关系（数学模型）→解析地或近似地求解该数学模型→解释、验证所得结果→应用于实际。

对我们来说，这一过程为

问题分析→模型假设→模型建立→模型求解→解的分析与检验→论文写作→应用于实际。

 

 

7  一些经验

7.1如何协作

组队最好是集中各种不同的系的人交叉编组，这样增强知识的互补性。可能开始时人不熟，不利交流，但可增加赛前的小组活动时间以利“磨合”。多开展讨论，要学会“妥协”，在科学上不能太固执，如果一个组内总是争论不休，那就很难开展工作，要善于听取别人的不同意见，取长补短。

7.2  求解模型时注意的问题

    数值计算能力和公式推导能力的训练也很重要，克服马虎大意的麻痹思想。有时模型正确，结果也对，唯独不够精确，或有效位数不够，非常可惜。

计算机的使用是非常关键的一个环节，特别是常用数学软件和文字编辑软件要提前用熟，还应会用一种高级语言进行编程。

国内竞赛题目人为构造的痕迹比较强，数学的味道更浓一些。尽管问题可能分为几个阶段或步骤，每个阶段都要建立自己的模型，再分别确定算法，求出结果。但很可能在某个局部套用上典型的模型。另外国内竞赛更注重对实例的数字结果，因此要算准，算好。

 

7.3 建立模型时注意的问题

要学会审题，只有清楚地了解了题中的全部含意，才不会做偏，才能把好钢用在刀刃上，把重要的地方讨论清楚。题目拿到后，要做到逐字逐句地反复读题二十遍，仔细玩味出题人的意图，之后才能讨论决定作哪道题。在决定作哪道题时应对两道题大约都分别怎样去做心中有数，我们组的三个人更善于做哪道题。

最重要的部分是模型假设，如何根据题意作出全部假设是建模过程的关键环节，这方面必须多作练习，再看别人想到了哪些是自己没想到的。

从这几年的竞赛题和实际问题看一个问题总是可以分为若干个小问题的(类似软件工程中的系统分解), 复杂的实际问题一旦被拆开成若干简单的小问题就容易被分而治之，各个击破，因此在学习中要注意提高这方面的能力。只有善于分解处理，大家才能更好地分工合作。

7.4 写作时注意的问题

写作能力也很重要，赛前大家要看一定量的科学论文以掌握论文的写法。注意最后的成果是论文，无论模型多先进、方法多好，文章一团糟，名次肯定上不去。我们可以多阅读写的好的论文来提高自己的写作能力。什么是好?一句话：简捷明了。

文章里如有程序要放到最后作为附录，并最好用小字体两列打印，以压缩篇幅。注意阅卷时是不会把它重新录入到计算机中的，只是参考。阅卷人都喜欢薄的卷子，所以强调简练，信息量相同时，篇幅越小越好。

评卷专家默认的评卷标准是：“假设的合理性,模型的创造性,结果的正确性,整体的一致性,方法的实用性和文字表述的简明清晰程度为主要标准”。 一篇论文应有一个中心的模型和结果，即使有多个，但这些模型之间应有一个递进的关系。对一个问题的解决中,可能有许多种方法，相应有许多种结果。评价那份卷子更好,主要看谁把问题解决的更彻底,结果更好.在结果相同的情况下,则要看谁的方法更简单,更容易让人接受,这也是大家的一种共识。

 

7.5 竞赛期间的经验

在人员确定的情况下，实际上时间就是决定的胜败的关键。（1）合理分配时间，不要前松后紧。（2）由于基本功不扎实，导致比赛时的一个小问题浪费很多时间。（3）文字排版不过关，导致论文录入费时过多。（4）节约时间的另一个重要方面是大家分工合作，交叉作业，每个人都忙自己的事。（5）随时整理出工作的过程和保留素材是个好习惯，相当于逐步完成了论文，最后只剩下整理与定型。草纸使用完不可以马上扔。

    最后，借用一句流传甚广的话与大家共勉：“一次参赛终身受益”，确实很有道理。怎样才能做到这句话达到的效果，大家可在日后的数学建模活动中慢慢体会吧。

数学建模官方网站：http://www.mcm.edu.cn/

 

参考文献

1 韩中庚, 杨世杰. 浅谈大学生数学建模竞赛. 信息工程学院学报. 1996, 15(2).

2 2004年吉林大学建模培训材料

3韩中庚. 数学建模方法及其应用. 北京：高等教育出版社，2005.

4 刘来福, 曾文艺. 数学模型与数学建模. 北京：北京师范大学出版社, 2002.