poj1061 青蛙的约会（扩展欧几里得算法求解同余方程）

                                                            青蛙的约会

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

题目分析：假设走了t次相遇，则有等式(x+mt)-(y+nt)=pL成立,等价于求解同余方程(n-m)t≡(x-y) (mod L)的最小整数解

（a）对于一般同余方程ax=d mod b,方程有解，则有（a,d）| b ,所以问题第一步判断解的情况

（b）有（n-m）t+pL=x-y,t、p均为未知变量，将问题转化为求解ax+by=d的最小整数x，扩展欧几里得算法：

briefly:扩展欧几里得算法是辗转相除法求gcd的拓展，表现在ax+by=gcd(a,b)，函数extended_gcd()不仅能返回gcd(a,b),还能求出gcd的线性系数x,y,具体的操作步骤如下：

       ①首先化简 ，得到新的ax+by=d,注意此时（a,b）=1

       ②先求ax+by=1的解x0、y0（解具有唯一性），利用扩展欧几里得算法得到唯一解x0,则ax+by=d的解x=d*x0

       ③通解X=x+b*k(k为整数)

（c）通过(b)实际上可以得到同余方程的通解，但是题目要求最小整数解，利用min=(X%b+b)%b,X取正取负均满足最小，问题得解

代码+部分解释：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include
#define maxn 1500
using namespace std;
long long x,y;
long long extended_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)//扩展欧几里得算法：求等式ax+by=gcd(a,b)中的x,y；返回d=gcd(a,b)
{
    if(b==0) {x=1;y=0;return a;} //边界a*1+0*0=gcd(a,0)=a;
    long long d=extended_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
long long gcd(long long a,long long b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
   //freopen("input.txt","r",stdin);
   long long xx,yy,m,n,l;
   long a,b,d;
   while(cin>>xx>>yy>>m>>n>>l){
     a=n-m;
     b=l;
     d=xx-yy;  //ax=d(mod b)
     long long res=gcd(a,b);
     if(d%res) cout<<"Impossible"<