数论：逆元

今天讲讲逆元

逆元

首先，我们先引入一个概念：同余 

什么是同余？

若  与 除以正整数p有一样的余数,那么我们说a与b在模p的意义下同余，即， 

同余还有同余类和剩余系，大佬们或者学有余力的读者可以自行百度，至少我是不会的啦

那么我们来讲讲什么是逆元 

若 ，则a与b互为逆元。

那逆元有什么用呢？

这又涉及一个知识点：取模

因为a/b%p(a%p/b%p)%p，所以我们要找到一个东西使得它，这个数，便是b的逆元。

现在又来了一个问题，逆元怎么求？

 

那么我们可以引入两个定理：

1.费马小定理

若p是质数，则对于任意整数a,有 .

2.欧拉定理

若正整数a,n互质，则有 ,其中为欧拉函数。

欧拉定理与费马小定理证明，大家可以上网去搜索。

不过你若是知道一点：当n为质数时：

那你就可以用欧拉定理证明费马小定理。

 

回到正题，一般求逆元，使用的是费马小定理

若要求a模p意义下的逆元（p为质数），则只用求，用快速幂即可

为什么呢？
这个问题留给读者自己证明。

给个提示：用费马小定理的式子与逆元的式子

自然，逆元还有其他方法，比如杨辉三角，扩展欧几里得，中国剩余定理+扩展欧几里得 等等

杨辉三角的方法其实很水，但时间复杂读不允许n>=1000的数据

程序你们自己打吧，很水的。