凸优化学习-（四）仿射包、凸集、凸组合、凸包、凸锥、凸锥组合、凸包
凸优化学习
学习笔记
今天学习仿射包、凸集、凸组合、凸包、凸锥、凸锥组合、凸锥包的概念
一、仿射包
文字：
对于任意集合 C C C，包含 C C C的最小的仿射集称为 C C C的仿射包。
数学：
a f f c = { θ 1 x 1 + ⋯ + θ k x k ∣ ∀ x 1 , ⋯ , x k ∈ C θ 1 + ⋯ + θ k = 1 } aff\ \ c=\lbrace \theta_1 x_1+ \cdots +\theta _kx_k \mid{\forall x_1,\cdots,x_k \in C \ \ \theta_1+\cdots+\theta_k=1\rbrace} aff c={θ1x1+⋯+θkxk∣∀x1,⋯,xk∈C θ1+⋯+θk=1}
二、凸集 Convex Set
定义一
文字：
一个集合是凸集，当属于该集合的任意两点之间的线段仍然在该集合内。
数学：
C i s a C o n v e x S e t ⇔ ∀ θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ∈ C , x 1 , x 2 ∈ C ∀ θ θ ∈ [ 0 , 1 ] C\ is \ a\ Convex\ Set\Leftrightarrow\forall \theta x_1+(1-\theta)x_2 \in C,x_1,x_2 \in C\ \forall \theta \ \ \theta\in[0,1] C is a Convex Set⇔∀θx1+(1−θ)x2∈C,x1,x2∈C ∀θ θ∈[0,1]
例
图一为凸集，需要说明凸集的一个性质，凸集在几何上表现也是凸的。任意两点的连线都在六边形内。
定义二
文字：
一个集合是凸集，当属于该集合的任意数量的点的凸组合仍然在该集合内。
数学
C i s a C o n v e x S e t ⇔ θ 1 x 1 + , ⋯ , + θ k x k ∈ C , ∀ x 1 , ⋯ , x k ∈ C ∀ θ 1 , ⋯ , θ k θ 1 , ⋯ , θ k ∈ [ 0 , 1 ] θ 1 + , ⋯ , + θ k = 1 C\ is \ a\ Convex\ Set\Leftrightarrow\theta_1 x_1+,\cdots,+\theta_k x_k\in C, \forall x_1,\cdots ,x_k \in C\ \ \forall \theta_1,\cdots,\theta_k \ \ \theta_1,\cdots,\theta_k\in[0,1]\ \ \ \theta_1+,\cdots,+\theta_k=1 C is a Convex Set⇔θ1x1+,⋯,+θkxk∈C,∀x1,⋯,xk∈C ∀θ1,⋯,θk θ1,⋯,θk∈[0,1] θ1+,⋯,+θk=1
类似仿射集的定义，定义一和定义二仍然是等价的。
三、凸组合
对于点 x 1 , ⋯ , x k x_1,\cdots,x_k x1,⋯,xk， θ 1 x 1 + , ⋯ , + θ k x k \theta_1 x_1+,\cdots,+\theta_k x_k θ1x1+,⋯,+θkxk称为它们的凸组合，其中 ∀ θ 1 , ⋯ , θ k θ 1 , ⋯ , θ k ∈ [ 0 , 1 ] θ 1 + , ⋯ , + θ k = 1 \forall \theta_1,\cdots,\theta_k \ \ \theta_1,\cdots,\theta_k\in[0,1]\ \ \ \theta_1+,\cdots,+\theta_k=1 ∀θ1,⋯,θk θ1,⋯,θk∈[0,1] θ1+,⋯,+θk=1
四、凸包
文字：
对于任意集合 C C C，包含 C C C的最小的凸集称为 C C C的凸包。
数学：
∀ C ∈ R n C o n v C = { θ 1 x 1 + , ⋯ , + θ k x k ∣ ∀ x 1 , ⋯ , x k ∈ C θ 1 + , ⋯ , + θ k = 1 θ 1 , ⋯ , θ k ∈ [ 0 , 1 ] } \forall C \in R^n \\Conv\ C=\lbrace \theta_1 x_1+,\cdots,+\theta_k x_k\mid\forall x_1,\cdots,x_k \in C\ \ \theta_1+,\cdots,+\theta_k=1\ \ \theta_1,\cdots,\theta_k\in[0,1]\rbrace ∀C∈RnConv C={θ1x1+,⋯,+θkxk∣∀x1,⋯,xk∈C θ1+,⋯,+θk=1 θ1,⋯,θk∈[0,1]}
五、锥与凸锥 Cone and Convex Cone
锥：
C i s C o n e ⇔ ∀ x ∈ C , ∀ θ ≥ 0 ， 有 θ x ∈ C C\ is \ Cone \Leftrightarrow \forall x \in C,\forall \theta \geq0，有\theta x \in C C is Cone⇔∀x∈C,∀θ≥0，有θx∈C
凸锥：
C i s C o n v e x ⇔ ∀ x 1 , x 2 ∈ C , ∀ θ 1 , θ 2 ≥ 0 ， 有 θ 1 x 1 + θ 2 x 2 ∈ C C \ is \ Convex \Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in C,\forall \theta_1,\theta_2 \geq0，有\theta_1 x_1+\theta_2x_2 \in C C is Convex⇔∀x1,x2∈C,∀θ1,θ2≥0，有θ1x1+θ2x2∈C
例
图三这三条射线构成的集合就是锥。
图四阴影部分为凸锥
六、凸锥组合
对于点 x 1 , ⋯ , x k x_1,\cdots,x_k x1,⋯,xk， θ 1 x 1 + , ⋯ , + θ k x k \theta_1 x_1+,\cdots,+\theta_k x_k θ1x1+,⋯,+θkxk称为它们的凸锥组合，其中 ∀ θ 1 , ⋯ , θ k θ 1 , ⋯ , θ k ≥ 0 \forall \theta_1,\cdots,\theta_k \ \ \theta_1,\cdots,\theta_k\ge0 ∀θ1,⋯,θk θ1,⋯,θk≥0
七、凸锥包
文字：
对于任意集合 C C C，包含 C C C的最小的凸锥称为 C C C的凸锥包。
数学：
∀ C ∈ R n C o n v C o n e C = { θ 1 x 1 + , ⋯ , + θ k x k ∣ θ 1 , ⋯ , θ k ≥ 0 } \forall C \in R^n \\Conv\ Cone\ C=\lbrace \theta_1 x_1+,\cdots,+\theta_k x_k\mid\theta_1,\cdots,\theta_k\ge0\rbrace ∀C∈RnConv Cone C={θ1x1+,⋯,+θkxk∣θ1,⋯,θk≥0}
例
图五的凸包是该集合本身。
图六两条射线之间的区域则为凸包。
个人思考
几个概念的比较
仿射集是凸集的特例，凸锥是凸集的特例。
凸组合是仿射组合的特例，仿射组合是凸锥组合的特例。
对于同一集合而言，它的 凸包 ⊂ \sub ⊂凸锥包 ⊂ \sub ⊂仿射包
纸质笔记
