【数论】【AtCoder Beginner Contest 121D】异或前缀和

参考博客：Atcoder Beginner Contest 121 D - XOR World(区间异或和)

结论1：[ 0 , 2^k ] 区间异或和为0

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1、若n为奇数，那么最高位出现了n+1n+1次为偶数，可以去掉
f(2k,n)=f(0,n−2k)，可以发现n−2k与n具有相同的奇偶性，可以利用同样的推导去掉
最后f(0,n)的就取决于<4的部分，即mod 4后的异或和

那么我们有：
如果n为奇数
若n≡1(mod4)，f(0,n)=1
若n≡3(mod4)，f(0,n)=0

2、若n为偶数，那么最高位出现了n+1次为奇数，一定可以保留
同样的，f(2k,n)=f(0,n−2k)，可以发现n−2k与n具有相同的奇偶性，可以利用同样的推导去掉
最后f(0,n)的后两位就取决于<4的部分

那么我们有：
如果n为偶数
若n≡0(mod4)，f(0,n)=n
若n≡2(mod4)，f(0,n)=n+1

这样，我们就get了一个O(1)求连续数字异或和的方法

若n≡0(mod4)，f(0,n)=n
若n≡1(mod4)，f(0,n)=1
若n≡2(mod4)，f(0,n)=n+1
若n≡3(mod4)，f(0,n)=0

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以上都是转载自：连续数字异或和

 

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll f(ll x){
    if(x%4==0) return x;
    if(x%4==1) return 1;
    if(x%4==2) return x+1;
    return 0;
}
int main()
{
    ll a,b;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    ll ans=f(b)^f(a-1);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}