算法设计与分析—动态规划

动态规划

首先将计算机问题分解为规模较小的子问题，然后自底向上地求解各个子问题，并将子问题的解存储在一个数据结构中。

• 优化子结构
• 重叠子问题

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问题实例

（1）0-1背包问题

• 一个容量为C的背包和n个物品，其中第i个物品体积为weight[i]，其价值为value[i]，输出一个物品装包方案使得每个物品要么放入背包要么不放入背包，背包的内物品总重量不超过C且总价值达到最大值
• 用一个数组f[i][j]表示，在总共有i个物品，容量为j的情况下背包问题的最优解。第i个物品可以选择放进背包或者不放进背包（这也就是0和1）。
• 如果放进背包（前提是放得下）：

f[i][j]=f[i－1][j-weight[i]+value[i];

• 如果不放进背包：

f[i][j]=f[i－1][j];

• 状态转移方程

f[i][j]=max(f[i－1][j],f[i-1][j-weight[i]+value[i]); 

（2）完全背包问题（一）

• 一个容量为C的背包和n个物品，第i个物品体积为weight[i]，其价值为value[i]，每个物品都有无限多件，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大
• 用一个数组f[i][j]表示，在总共有i个物品，j为背包可以容纳的重量，有i种物品时，对于第i种物品，要么取或者不取，至于取多少个我们并不关心。
• 状态转移方程

f[i][j]=max(f[i－1][j], f[i][j-weight[i]]+value[i], i=0,...,N);

（3）完全背包问题（二）

• 用一个数组f[i][j]表示，在总共有i个物品，j为背包可以容纳的重量，有N种物品，对于每种物品假设至少包含一个，至于到底包含多少个我们并不关心。
• 状态转移方程

f[j]=max{f[j-weight[i]]＋value[i], i=0,...,N｝  

（4）最少硬币找零问题（一）

• 给予不同面值的硬币若干种，如1 5 10 20 50 100，并且每种硬币个数无限多，如何用若干种硬币组合为某种面额的钱，使硬币的的个数最少？
• 假设j为需要找零多少元，有i种硬币，找零时对于第i种硬币，我们只考虑取或者不取，至于取多少个我们并不关心。
• 状态转移方程

f[i][j]=min(f[i－1][j],f[i][j-coins[i]]+1);  

（5）最少硬币找零问题（二）

• 假设j为需要找零多少元，有N种硬币，对于每种硬币，我们可以依次假设f(i)中至少包含一个coins[j] (j=0, 1……N) ，然后得到所需的最少硬币是f(j- coin[i])＋1，最后再从这N次假设中选出最小的就是f(i)。
• 状态转移方程

f[j]= min{f[j-coins[i]]＋1, i=0,...,N};

（6）Word Break问题

要求一个非空字符串s,一个非空的字符串词典，判断s能够通过空格组成一个序列是词典里的多个单词
例如：s= ” leetcode”，dict=[“leet”,”code”]，因为“leetcode”可以改成“leet code”故返回1。

• 状态转移方程

dp[i+Len]=dp[i]&&dict.find(s.substr(i,Len)); #Len:[minlen,maxlen],i:[0,s.size()]  

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