P1057 传球游戏

题目描述
上体育课的时候，小蛮的老师经常带着同学们一起做游戏。这次，老师带着同学们一起做传球游戏。

游戏规则是这样的：n个同学站成一个圆圈，其中的一个同学手里拿着一个球，当老师吹哨子时开始传球，每个同学可以把球传给自己左右的两个同学中的一个（左右任意），当老师再次吹哨子时，传球停止，此时，拿着球没有传出去的那个同学就是败者，要给大家表演一个节目。

聪明的小蛮提出一个有趣的问题：有多少种不同的传球方法可以使得从小蛮手里开始传的球，传了m次以后，又回到小蛮手里。两种传球方法被视作不同的方法，当且仅当这两种方法中，接到球的同学按接球顺序组成的序列是不同的。比如有三个同学1号、2号、3号，并假设小蛮为1号，球传了3次回到小蛮手里的方式有1->2->3->1和1->3->2->1，共2种。

输入格式
一行，有两个用空格隔开的整数n,m(3≤n≤30,1≤m≤30)。

输出格式
1个整数，表示符合题意的方法数。

输入输出样例
输入 #1

3 3

输出 #1

2

说明/提示
40%的数据满足：3≤n≤30,1≤m≤20

100%的数据满足：3≤n≤30,1≤m≤30

2008普及组第三题

思路分析

因为该题要表示传球几次球和将球传给谁的方法总数，所以需要用两个状态量才能表达出该含义。num[i][j]代表第i次传球时将球传给同学j的方法总数。为了方便使得i+1和i-1能形成一个环，（1与n通过求余形成环不方便），可将小蛮设为0号同学。因为题目说明了从小蛮手里开始传的球。所以num[0][0]（第0位（小蛮）同学将球传0次传给第0位同学的方法总数）应该为1，因为此时球本来就在他的手里，而num[0][1]…num[0][n-1]都为0，因为此时球不在他们的手里，想通过传0次球将球传到他们的手里的方法总数为0。所以该题的动态规划的初始值已经得到了，而第i次传球时将球传给同学j的方法总数等于球传了i-1次到达同学j左边那个人的手里的次数与球传i-1次到达同学j右边那个人的手里的次数之和。因为球只能从他的左边传给他或者从他的右边传给他。
即递推式为
num[i][j]=num[i-1][(j-1+n)%n]+num[i-1][(j+1)%n];
因为j-1有可能为-1（第0位同学将球传给左边的同学时的情况），而此时求出来的下标应该为n-1，可通过(j-1+n)%n求得正确的下标。

代码

#include 
using namespace std;
int main()
{
    int num[38][38]={1},n,m;//num[0][0]为1，其他元素为0，num[i][j]代表第i次传球时将球传给同学j
    cin>>n>>m;//n为人数，m为传球
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            //num[i][j]等于球传i-1次到达他左边那个人的手里的次数加球传i-1次到达他右边那个人的手里的次数
            num[i][j]=num[i-1][(j-1+n)%n]+num[i-1][(j+1)%n];
        }
    }
    cout<<num[m][0]<<endl;//球传m次到达第0位（小蛮）同学的手里
    return 0;
}

扩展知识点

1. 一定要开num[38][38]这么大的空间吗？
   想明白了吗？小靓仔（女）！！！
   答案是不需要，其实int num[2][38]就够了，因为求球传i次到达同学j手里的方法总数只会用到球传i-1次的结果，且该问题由于无后效性，所以可以用num[2][38]来相互覆盖计算。

代码

#include 
using namespace std;
int main()
{
    int num[2][38]={1},n,m;//num[0][0]为1，其他元素为0，num[i][j]代表第i次传球时将球传给同学j
    cin>>n>>m;//n为人数，m为传球
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            //num[i][j]等于球传i-1到达他左边那个人的手里的次数加球传i-1到达他右边那个人的手里的次数
            num[i%2][j]=num[(i-1)%2][(j-1+n)%n]+num[(i-1)%2][(j+1)%n];
        }
    }
    cout<<num[m%2][0]<<endl;//球传m次到达第0位（小蛮）同学的手里
    return 0;
}