数学建模——相关系数(4)——斯皮尔曼相关系数(spearman)

文章目录

  • 引述
  • 一、斯皮尔曼相关系数(spearman)
    • 1.定义1
    • 2.定义2
    • 3.使用MATLAB计算spearman相关系数
    • 4. 斯皮尔曼相关系数的假设检验
  • 二、斯皮尔曼相关系数与皮尔逊相关系数的比较

引述

经过之前几节的学习,我们了解并掌握了皮尔逊相关系数。在学习中我们发现,皮尔逊相关系数的使用条件相当苛刻:两组变量必须是连续数据、呈现正态分布,且两者间必须成线性关系。如果我们在数学建模中拿到一组数据无法满足以上条件,那么有没有其他的方法去判断两组变量之间的相关性呢?答案是肯定的,它就是斯皮尔曼相关系数(spearman).

一、斯皮尔曼相关系数(spearman)

1.定义1

  • 定义:X和Y为两组数据,其斯皮尔曼(等级)相关系数:
    数学建模——相关系数(4)——斯皮尔曼相关系数(spearman)_第1张图片
    其中,di为Xi和Yi之间的等级差。可以证明:rs位于-1和1之间。
  • 等级差
    一个数的等级,就是将它所在的一列按照从小到大排序后,这个数所在的位置。
    数学建模——相关系数(4)——斯皮尔曼相关系数(spearman)_第2张图片
    根据公式计算可得:
    X和Y的斯皮尔曼相关系数 rs = 0.875

2.定义2

另一种斯皮尔曼相关系数被定义成等级之间的皮尔逊相关系数。值得注意的是,MATLAB使用的是该定义下的计算方式
对于上图,使用MATLAB求解皮尔逊相关系数

%% 使用MATLAB求解皮尔逊相关系数
RX = [2 5 3 4 1]
RY = [1 4.5 3 4.5 2]
R = corrcoef(RX,RY)

计算结果如下:
数学建模——相关系数(4)——斯皮尔曼相关系数(spearman)_第3张图片

3.使用MATLAB计算spearman相关系数

1. 两种用法

  • 用法1:
corr(X, Y, 'type', 'Spearman') % X和Y必须是列向量!
  • 用法2:
corr(X, 'type', 'Spearman') % 这时计算X矩阵各列之间的斯皮尔曼相关系数

2. 使用MATLAB计算斯皮尔曼相关系数
注:我们所使用的测试数据即为上图。

%% 斯皮尔曼相关系数
X = [3 8 4 7 2]' % 一定要变成列向量," ' "表示求转置。X = [3 8 4 7 2] 此时为行向量,转置后成为列向量。
Y = [5 10 9 10 6]'
% 第一种计算方法
 1-6*(1+0.25+0.25+1)/5/24
 
% 第二种计算方法
coeff = corr(X , Y , 'type' , 'Spearman')
% 等价于:
RX = [2 5 3 4 1]
RY = [1 4.5 3 4.5 2]
R = corrcoef(RX,RY)

当使用第二种计算方法计算时,所得结果如下:
计算结果2
由此,说明MATLAB使用的是基于第二种定义的计算方法!

3. 皮尔逊相关系数与斯皮尔曼相关系数计算结果的对比

% 计算矩阵各列的斯皮尔曼相关系数
R = corr(Test, 'type' , 'Spearman')

数学建模——相关系数(4)——斯皮尔曼相关系数(spearman)_第4张图片

% 计算矩阵各列的皮尔逊相关系数
R = corrcoef(Test)

数学建模——相关系数(4)——斯皮尔曼相关系数(spearman)_第5张图片

4. 斯皮尔曼相关系数的假设检验

分为两种情况:小样本和大样本

  1. 小样本情况(n ≤ 30),直接查临界值表
    H0:rs = 0; H1:rs ≠ 0
    使用得出的斯皮尔曼相关系数 r 与对应的临界值进行比较。
    数学建模——相关系数(4)——斯皮尔曼相关系数(spearman)_第6张图片
  2. 大样本情况下,统计量
    在这里插入图片描述
    H0:rs = 0; H1:rs ≠ 0,计算检验值z*,并求出对应的p值与0.05比较即可。
% 大样本下的假设检验
% 计算检验值 z*
disp(sqrt(591-1)*0.0301) 

% 计算p值
disp((1-normcdf(0.7311))*2) % normcdf用来计算标准正态分布的累积概率密度函数

% 直接给出相关系数和p值
[R,P]=corr(Test, 'type' , 'Spearman')

数学建模——相关系数(4)——斯皮尔曼相关系数(spearman)_第7张图片
p > 0.05,因此无法拒绝原假设,即该相关系数和0没有显著的差异。

二、斯皮尔曼相关系数与皮尔逊相关系数的比较

  1. 连续数据,正态分布,线性关系,用皮尔逊相关系数是最巧当的,当然用斯皮尔曼相关系数也可以,只是效率没有皮尔逊相关系数高;

  2. 上述任一条件不满足,就使用斯皮尔曼相关系数,不能使用皮尔逊相关系数。

  3. 两个定序数据之间使用斯皮尔曼相关系数

    定序数据:指仅仅反映观测对象等级、顺序关系的数据,是由尺度计量形成的,表现为类别,可以进行排序,属于品质数据。
    例如:优、良、差,我们可以用1表示差,2表示良、3表示优,但是,用 2 / 1 = 2 得出的 2 不具有任何含义。定序数据最重要的意义是代表了一组数据中的某种逻辑顺序。

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