时间序列预测

时间序列预测

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相关概念

时间序列

时间序列中连续的、不同时刻的随机变量，他们彼此之间都有一定的相关性
按照时间的顺序把事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列

时间序列预测

对时间序列进行观察、研究，找寻它变化的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析

相空间重构

如果一个时间序列是由一个确定性的非线性动力系统产生的，则由时间序列来恢复并刻画原动力系统称为相空间重构

相空间重构，即由时间序列恢复原系统最常用的方法是Takens延迟嵌入定理，也称Takens Theorem（Takens定理）

Takens Theorem（Takens定理）：从一个未知的、确定的动力系统所产生的时间序列能够重构出该未知系统的动力学形式

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相空间重构

基本思想

系统由n个变量组成，其中任一分量的演化都是由与之相互作用的其他分量所决定的，因此n个变量的信息就隐含在任一分量的发展过程中。当然这个说法并不是很准确，比如系统是不可观测的。
为了重构一个等价的状态空间，只需考察一个分量，并将它在某些固定的时间延迟点上的测量作为新的维度，它可以将原系统的许多性质保存下来。

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问题描述

对于一个非线性，通过观测，得到一组测量观测值{x(t),t=1,2,…,n}，由此可以构造一组m维向量

X(t)=[x(t),x(t−T),…,x(t−(m−1)×T)]

参数

T取样周期

m嵌入维数

X(t)相空间重构

计算嵌入相空间维数大小的一个基本命题.它是重构相空间技术的理论依据.混沌应用的一个重要问题就是从单个变量的时间序列重新构造一个可包容该混沌运动的m维相空间。
对于维数n究竟应该取多大的问题， 1980 年，塔肯斯(Takens,F.)先后证明了所需维数m大小的嵌入定理，即Takens定理

为了保证该相空间容纳该状态空间原来吸引子的拓扑特征，如果原来吸引子处在一个d维空间中，那么，将该吸引子嵌入其中的相空间维数必须达到m≥2d+1.

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举例

Henon映射

{x(k+1)y(k+1)=1−1.4x2(k)+y(k)=0.3x(k)

该系统有两个状态变量，但如果观测到状态变量 x(k) 的信息，则可以从 x(k) 建立元系统的模型
对状态变量 x(k) 进行相空间重构 z(k)=(x(k),x(k−T)) ，则由 z(k) 可以重构原来的系统

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Lorenz系统

⎧⎩⎨x˙y˙z˙=σ(y−x)=x(r−z)−y=xy−bz

取 σ=10 ， r=28 ， b=8/3 ，初值 x0=15.34 ， y0=13.68 ， z0=37.91
如果只观测变量 x 的值，利用 x 作相空间重构
取延迟，即取样周期为9，嵌入维数为3，即利用

[x(1),x(10),x(19)] 重构 [x(1),y(1),z(1)]

[x(2),x(11),x(20)] 重构 [x(2),y(2),z(2)]

结果
原系统(x,y,z)

重构后系统(x(t),x(t−T),x(t−2T))