【特征多项式解线性递推】poj2118
叉姐论文：http://www.docin.com/p-724323397.html
a[i]=sigma(a[j]*b[k-j]) 求第n项
标准的常系数线性递推，用矩阵乘法可以做到o(k^3*logn)
但是如果用特征多项式优化的话，可以把矩阵乘法换成多项式乘法，从而做到o(k^2logn)
首先根据hamilton-cayley定理，一个矩阵的特征多项式是这个矩阵的化零多项式，因此假设最高次为第k次方项，我们可以将特征多项式的第k次方项用0~k-1次方项线性表出，同理k+1次方项可以用1~k次方项线性表出，再把第k次方项拆开，则k+1次方项也可以由0~k-1次方项线性表出，如此归纳下去，矩阵的任意次方项都可以由0~k-1次方项线性表出，那么使用快速幂的话，可以在o(k^2logn)的时间算出每一项的系数，也就是说任意次方的矩阵都可以等价于k个矩阵分别作用于向量再加起来，然后注意到这k个矩阵涉及到的最高项是a[k-1+k-1]项，也就是说可以用o(k^2)的时间算出前2k-2项的话，这k个向量也都被确定了，则要求的向量也可以计算出来。
至于如何求得特征多项式，对于这种线性递推式，按系数所在的行拉普拉斯展开，每一个余子式都可以轻易地化为对角阵的行列式（其实对角上的值都不要动就可以化为对角阵），最后可以注意到-1会被乘两次。
关于推广到一般得矩阵乘法的问题，最大的瓶颈在于最后那k个矩阵分别乘向量，容易看出，一般的递推式会涉及到前k^2项，因此光是求初项就是o(k^3)的，而一般的相似于对角阵的做法，求基变换矩阵需要高斯消元也是o(k^3)。
如果用fft做多项式乘法的话，貌似可以继续优化，但是求初项怎么办，我还不清楚。
#include
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const int mo=10000;
using namespace std;
struct Coe{
int p[205];
Coe operator *(const Coe &b) const;
};
int ans[205],h[205],N,k,K[205];
int a[205],b[205];
Coe Coe::operator *(const Coe &b) const
{
Coe c;
for (int i=0;i<=k+k;i++) h[i]=0;
for (int i=0;i=k;i--)
for (int j=i-1;j>=i-k;j--)
(h[j]+=h[i]*K[k-(i-j)])%=mo;
for (int i=0;i1) b.p[1]=1;else b.p[0]=K[0];
for (;e;e>>=1) {
if (e&1) sum=sum*b;
b=b*b;
}
return sum;
}
int main()
{
for (;;) {
scanf("%d",&k);
if (!k) break;
memset(a,0,sizeof(a));
memset(b,0,sizeof(b));
for (int i=0;i=0;i--) scanf("%d",&b[i]);
scanf("%d",&N);
if (N=0;i--) {
K[i]=b[i];
// if ((k-1-i+1+1)&1) K[i]=-K[i];
// if ((k-1-i)&1) K[i]=-K[i];
}
Coe B=fgm(N-(k-1));
for (int i=k;i<=k+k;i++) {
a[i]=0;
for (int j=i-1;j>=i-k;j--) (a[i]+=a[j]*b[k-(i-j)])%=mo;
}
for (int i=k-1;i>=0;i--) ans[i]=0;
for (int i=0;i<=k-1;i++)
for (int j=i;j<=i+k-1;j++) (ans[j-i]+=a[j]*B.p[i]%mo)%=mo;
printf("%d\n",(ans[k-1]%mo+mo)%mo);
}
return 0;
} hdu4471
线性递推中有n个特殊点，因此要分成n段来做递推，直接矩乘会tle，因此每段用特征多项式递推优化。
#include
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#define f64 "%lld\n"
const int mo=1000000007;
const int lim=100;
using namespace std;
struct PP {
long long p[600];
}b,B;
int n,m,q,t,nk[600],tk[600];
int ck[600][600],c[600],u[600];
long long F[600],f[600],h[600],tmp[600];
int vis[600];
bool cmp(int i,int j)
{
if (nk[i]!=nk[j]) return nk[i]=lim+1;i--)
for (int j=i-1;j>=i-lim;j--)
(h[j]+=h[i]*c[i-j])%=mo;
for (int i=1;i<=lim;i++) a.p[i]=h[i];
}
void fgm(PP &sum,long long e)
{
for (int i=1;i<=lim;i++) sum.p[i]=B.p[i]=0;
sum.p[1]=1;
B.p[2]=1;
for (;e;e>>=1) {
if (e&1) mul(sum,B);
mul(B,B);
}
}
void doit(long long f[],long long e,long long F[])
{
//cout<=1;i--,j--) F[i]=f[j];
return ;
}
for (int i=2*lim+1;i<=2*lim+2*lim;i++) FF(f,i);
for (int i=2*lim,j=2*lim+2*lim; i>=1;i--,j--) f[i]=f[j];
//for (int i=1;i<=2*lim;i++) cout<=lim-i+1;j--,k++) {
tmp[i]=(tmp[i]+b.p[lim-k+1]*f[j])%mo;
}
}
for (int i=1;i<=lim;i++) F[i]=0;
for (int i=1;i<=lim;i++) F[2*lim-i+1]=tmp[i];
}
int main()
{
freopen("input.txt","r",stdin);
freopen("output.txt","w",stdout);
for (int test=1;scanf("%d%d%d",&n,&m,&q)==3;test++) {
for (int i=1;i<=2*lim;i++) vis[i]=0;
printf("Case %d: ",test);
for (int i=1;i<=m;i++) scanf(f64,&f[i]);
scanf("%d",&t);
for (int i=1;i<=t;i++) scanf("%d",&c[i]);
for (int i=t+1;i<=lim;i++) c[i]=0;
for (int i=1;i<=q;i++) {
scanf("%d%d",&nk[i],&tk[i]);
if (nk[i]<=2*lim) vis[nk[i]]=i;
for (int j=1;j<=tk[i];j++)
scanf("%d",&ck[i][j]);
}
++q;
nk[q]=n,tk[q]=t;
for (int i=1;i<=tk[q];i++) ck[q][i]=c[i];
for (int i=1;i<=q;i++) u[i]=i;
sort(u+1,u+q+1,cmp);
int op=m;
if (n<=m) {
printf(f64,f[n]);
continue;
}
for (int i=2*lim,j=m;i>=1;i--,j--)
if (j>0) f[i]=f[j];
else f[i]=0;
for (int i=1;i<=q;i++) {
if (nk[u[i]]<=m) continue;
doit(f,nk[u[i]]-op-1,F);
F[2*lim+1]=0;
for (int j=1;j<=tk[u[i]];j++) (F[2*lim+1]+=ck[u[i]][j]*F[2*lim+1-j])%=mo;
for (int j=1;j<=2*lim;j++) f[j]=F[j+1];
op=nk[u[i]];
//for (int j=2*lim;j>=1;j--) cout<