高等数学:一元函数微分学

导数的定义:

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当变化量趋近于零的时候,函数值的差和自变量的差的比值,就是导数的定义,我们也叫瞬时变化率,也叫变化率。

实际上我们也会使用\large \frac{\mathrm{df} }{\mathrm{d} x}这个样子的形式来表示导数,它和表示的是同一个东西。前面那个是导数,后面这个也是导数。

导数的精华

因为这样的定义和我们说的极限其实就是一个道理了,所以需要注意到这些细节

1.左右有别

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没错,就是这个样子,一定要注意到,一个点的导数如果存在,那么也是它的左右都存在且相等才行。我们拿上面的变化量来说,如果是0+,那么很明显是加上了一个正的无穷小量,说明就是下一时刻的东西,下一瞬间!反之如果是负无穷小量,那么表明的肯定就是上一时刻的事情了。

2.导数的等价写法:

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很明显,我们换元之后,当\large \bigtriangleup x趋近于0的时候,那x就趋近于x0了,这样我们的式子就可以改写成后面这个式子,实际上和上面的定义是一回事儿,但是不是不同的写法,这个也很重要,记下来。 

需要记住的小技巧:

1.凡是看到求一个点的导数,必定先把导数的定义公式拿出来,上面两个都是导数的定义公式。

2.对于这样的式子高等数学:一元函数微分学_第3张图片,我们可以看到,x的绝对值除以x,它的自变量范围只要是非零就行了,但是这个函数的函数值是始终只有两个的,要么是1,要么是-1,说明这个函数一定是一个有界函数呀。这是常见的,一定要记住。

无穷小量*有界量一定是无穷小量。

3.导数公式的广义化:

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这个依靠们自己的思维去凑这样的一个广义化公式。

小技巧:

1.一般我们碰到抽象的式子,使用增量式的定义公式,如果是具体的函数表达式,那么我们使用差值式来解决

2.0虽然在数量上表示不了什么,但是!!!请千万注意,它在我们使用导数定义公式的时候有极大的作用,因为有的时候你减去一个0大小没有发生变化,但是它却凑出了在0这一点的导数定义公式,就像下面这样。

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这个是增量式的导数定义公式。这个式子中,f(0)的函数值为0,但是我们一定要这样写,因为这样一写出来,我们是否就明确的发现,它满足导数的定义公式了?

3.cosx和sinx这种函数是一种天生的单侧极限函数,比如在正数这边,他们是一定不能超过1的,如果趋近于1,那一定就是1的左极限。明白把。所有有些题目一定要注意这一点。高等数学:一元函数微分学_第6张图片

4.一静一动原则:

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一静一动原则就是前面那个是可以动的,但是后面减去的这个东西是不能动的,反正只要看见前面后面都在动的就是错的。违反了导数的基本原则。

小技巧:

1.千万要注意一点这个是一个记号,表示的是x0这个点的导数,如果它存在,那么它是一个具体的数,但是他还有可能不存在的。我们理解清楚一点,导数确实是一个具体的数,但是前提条件是它要存在,如果它不存在的时候,他就啥也不是了。

2.高等数学:一元函数微分学_第8张图片,这里要注意,有界但是极限不一定存在的。但是极限如果存在,那么函数是必定有界的。

3.,这两点,不用证明,记住直接使用。也就是说,一个可导函数,导完之后,奇偶性互换。

导数的计算:

基本求导公式:

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6大求导方式:

复合函数求导:

一层一层的求导即可。

隐函数求导:

这里需要注意的是,隐函数中的y不是一个变量,而是一个函数,所以求导的时候要把他当成函数来求导。

3.对数求导法:

比如下面这个式子

我们就是对式子两边都取对数进行化简。

4.反函数求导:

反函数求导其实很简单,注意写法即可

同时呢!对于具体型的反函数的导数求解,我们可以先求函数的导数,然后再求函数导数的导数,为什么呢?

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很明显,函数的导数和它的反函数的导数,互为倒数关系。

5.参数方程求导

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求导的时候我们一定要清楚,到底是对谁求导。

注意的地方:

我们的二阶导数实际上可以写成这个样子。

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在求导的过程中,我们始终记住一句话,这个式子是那个变量的函数,我们就对那个变量求导。

6.高阶导数:

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使用莱布尼兹公式的时候为下面这两个公式

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第一个没得说,和差的n阶导数,等于n阶导数的和差。

而第二个乘积的高阶导数那该怎么办呢?同样是按照我们的这个公式来,此消彼长,好好理解一下,但是呢,考研中不会让我们把所有的式子都列出来,一般是列出前面的三项,后面的肯定都是0了,不然这计算量不符合逻辑的。

另外对于高阶公式,我们还应该记住以下这些公式,在一些只有几项的高阶导数计算中需要用到。

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中值定理:

十大定理:

第一系列定理:

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做题套路: 

介值定理三部曲:

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第二系列定理:

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10.积分中值定理

罗尔定理的使用技巧:

罗尔定理:比区间内连续,开区间内可导!妙啊···

在使用罗尔定理时候的注意点,通常情况下,我们由罗尔定理的定义可以知道

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端点值相同,推出一定存在一个数\large \delta,使得这一点的导数等于0,那么在实际的题目中,他一定会这样出题

它会把这个函数变得复杂。这样增大计算量,但是核心的东西还是罗尔定理的那一套。

罗尔定理解题方法一:求导公式逆用法

求导公式的逆用法;我们看见的求导公式可能是这样的。

但是注意,使用罗尔定理的时候,求导公式这个工具,可以反过来看看。

注意技巧:一:

当我们想证明:

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我们可以立马想到辅助公式:

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这里把大F和上面的复杂化函数联系起来。

注意技巧:二:

注意我们这里都是对罗尔定理的广义化,因为实际上的题目是不会直接把这个函数弄的那么简单的,一定是下面这种,或者上面的形式。他是多变的,需要我们结合前面的知识

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技巧三:

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由上面三个技巧我们可以总结出来,用好罗尔定理,实际要明白那个函数到底怎么拼凑,也就是辅助函数怎么做,就像几何中的辅助线一样,那么上面是三种常见的辅助函数。加深理解,一定是没有问题的。

解题经验:

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什么意思呢?就是说在证明题中,只要看到定积分,就先用积分中值定理处理一下再说。 

罗尔定理解题方法二:积分还原法:

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第三步移项之后得到的F(x)就是辅助函数

拉格朗日中值定理的使用:

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实际上,拉格朗日中值定理是罗尔定理的一般化。

第一种思路:将f复杂化

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第二种思路:给出相对高阶的条件,证明低阶不等式

在中值定理的求解过程中,如果出现多个点,那么最好画图

第三种思路:给出相对低阶条件,证明高阶不等式

第四种思路:具体化

第五种思路:\large \delta的具体化

柯西中值定理的应用:

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泰勒公式的应用:

1.带拉格朗日余项的泰勒公式

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但是不需过多的担心,我们记住这个通式和余项,一般来讲,考研是考到2阶,最多到3阶。 

麦克劳林公式,这个也是很重要的。

这是二阶展开式:

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2.带佩亚诺余项的泰勒公式;

这个一般就是我们第一章计算极限的时候使用,这里就不再过多的讲解。

在证明题中使用泰格公式的解题信号:

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注意点,定积分是一个数。

需要记住的一个积分公式: 

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导数的几何应用:

这里可以见讲义; 

三点、两性、一线:极值点、最值点、拐点;单调性、凹凸性;渐近线

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需要记住的结论:

这个可以直接用,就是说,一个函数的三阶导数连续,同时在一个点的二阶导数等于0,三阶导数>0。那么个点一定是拐点。

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