P2766 最长不下降子序列问题 · LIS + 网络流+拆点

题解

网络流24题
第一问：LIS，动态规划，_{好久没做LIS了都忘掉了orz}
因为 $n\le 500$ 比较小，用了$O(n^2)$的方法

void LIS(){
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        dp[i]=1;//以i为结尾的子序列的最大长度
        for (int j = 1; j < i; ++j) {
            if(a[i]>=a[j])
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
        }
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
}

第二问：网络流
通过大佬的题解得知，

1. 将所有的点 $i$ 拆分成 $i_a$，$i_b$ 两点，两点相连，容量为1，
2. 根据规则，当 $i\le j$，$a_i\le a_j$ 且 $dp[i]+1==dp[j]$ 时，让 $i_b$ 与 $j_a$ 相连，容量为1
3. dp[i]=1的时候，将源点与 i 相连，容量为1
4. dp[i]=s的时候，将汇点与i相连，容量也为1

看到这的时候挺懵的，为什么不直接根据关系建图，非要拆点呢？
后来大佬给了解答：

哦哦哦，所以 $i_a-i_b$ 这条边表示的就是一个点，因为网络流里边只能用一次(容量为1嘛)，这不就是符合题目第二问要求每个点只能用一次嘛

最终建立出来的图应该长这样：

然后网络流流出来的就是答案了

第三问：
将 $st-1_a$、$1_a-1_b$ 、$n_a-n_b$、$n_b-ed$ _{←如果符合条件的话} 这些边流量都置为INF，再跑一边网络流就行

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#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
ll a[505];
int n, m, k, s;

namespace Network_flows { //网络流板子
    //设定起点和终点
    int st;//起点-源点
    int ed;//终点-汇点

    struct egde {
        int to, next;
        int flow;//剩余流量
        //int capacity;//容量
    } e[N * 2];

    int head[N], tot = 1;

    void add(int u, int v, int w) {
        e[++tot] = {v, head[u], w};
        head[u] = tot;
        e[++tot] = {u, head[v], 0};
        head[v] = tot;//网络流反相边流量为0
    }

    int dep[N];//dep[]=-1时为炸点
    queue<int> q;

    bool bfs() {
        memset(dep, 0, sizeof(dep));//顺便起到vis的功能
        q.push(st);
        dep[st] = 1;
        while (!q.empty()) {
            int u = q.front();
            q.pop();
            for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
                int v = e[i].to;
                if (!dep[v] && e[i].flow) {
                    dep[v] = dep[u] + 1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
        return dep[ed];
    }

    int dfs(int u, int Flow) {
        if (u == ed||!Flow) return Flow;
        int now_flow = 0;//跑残流
        for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
            int v = e[i].to;
            if (dep[v] == dep[u] + 1 && e[i].flow) {
                int f = dfs(v, min(Flow - now_flow, e[i].flow));
                e[i].flow -= f;
                e[i ^ 1].flow += f;
                now_flow += f;
                if (now_flow == Flow) return Flow;
            }
        }
        if (now_flow == 0)dep[u] = -1;
        return now_flow;
    }

#define max_flow dinic
    int res = 0;
    int dinic() {//最大流

        while (bfs()) {
            res += dfs(st, INF);
        }
        return res;
    }

    void init() {
        tot = 1;
        memset(head, 0, sizeof(head));
        while (!q.empty()) q.pop();
    }
}
using namespace Network_flows;


int dp[505];

void LIS() {
    s = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        dp[i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; ++j) {
            if (a[i] >= a[j]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        s = max(s, dp[i]);
    }
    cout << s << endl;
}


int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }
    if (n == 1) {//特判
        return printf("1\n1\n1\n"), 0;
    }

    st = 0, ed = 2 * n + 1;
    
    LIS();
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        add(i, i + n, 1);
        for (int j = 1; j < i; ++j) {
            if (a[i] >= a[j] && dp[i] == dp[j] + 1) {//i是j的后一个
                add(j + n, i, 1);//注意了 千万别写成 add(j,i+n,1)
            }
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (dp[i] == 1) {
            add(st, i, 1);
        }
        if (dp[i] == s) {//千万别写成else if(dp[i]==s) s有等于1的
            add(i + n, ed, 1);
        }
    }
    cout << dinic() << endl;
       
    add(st, 1, INF);//直接添加无穷大的边 原来的那根有没有无所谓了
    add(1, 1 + n, INF);//if(dp[1]==1) 这个条件永为真
    add(n, 2 * n, INF);
    if (dp[n] == s) {
        add(2 * n, ed, INF);
    }
    //在原来的基础上累加
    cout << dinic() << endl;
    return 0;
}