矩阵快速幂模板+常用变式
矩阵乘法（矩阵乘矩阵）
在向量乘向量的运算中，是将每个元素与它对应的元素相乘，求所有乘积之和
那么矩阵乘矩阵是不是就是两个同型矩阵的对应元素相乘呢？
图样图森破
两个矩阵相乘的前提是前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数
举个栗子，AAA为n∗kn*kn∗k矩阵，BBB为k∗mk*mk∗m矩阵，CCC为m∗nm*nm∗n矩阵，那么AAA可以与BBB相乘，BBB可以与CCC相乘，CCC可以与AAA相乘，其他均不成立
我们知道了什么情况下两个矩阵可以相乘，那么他们怎么相乘呢？不讲每个对应位置相乘还能怎么乘呢？
设AAA为n∗kn*kn∗k矩阵，BBB为k∗mk*mk∗m矩阵,那么它们的乘积CCC则为一个n∗mn*mn∗m矩阵
Ci,j=∑r=1kAi,r∗Br,jC_{i,j}=\sum_{r=1}^kA_{i,r}*B_{r,j}Ci,j=∑r=1kAi,r∗Br,j
是不是不太好理解，没关系看看图就知道了
在矩阵乘法中满足以下运算律：
(AB)C=a(BC)(AB)C=a(BC)(AB)C=a(BC)
(A+B)C=AC+BC(A+B)C=AC+BC(A+B)C=AC+BC
C(A+B)=CA+CBC(A+B)=CA+CBC(A+B)=CA+CB
了解了这么多，我们开始看题，矩阵快速幂，由于矩阵乘法满足结合律，所以我们只需要把它按照一般的快速幂打，再重载一下运算符就可以了，好了我们直接放一道模板题：
题目描述
给定n*n的矩阵A，求A^k
输入输出格式
输入格式：
第一行，n,k
第2至n+1行，每行n个数，第i+1行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素
输出格式：
输出A^k
共n行，每行n个数，第i行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素，每个元素模10^9+7
输入输出样例
输入样例#1： 复制
2 1
1 1
1 1输出样例#1： 复制
1 1
1 1说明
n<=100, k<=10^12, |矩阵元素|<=1000
#include
#include
#include
#include
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long int ll;
struct mat
{
ll a[105][105];
}ans,res;//用二维数组来存储矩阵
ll k;
ll n;
mat Mul(mat x,mat y,ll n)//定义矩阵乘法，其中n是矩阵的阶数
{
mat t;//用来存储乘完之后的结果
memset(t.a,0,sizeof(t.a));
for(int i=0;i>=1;
res=Mul(res,res,n);
}
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&k);
for(int i=0;i 想必大家对于矩阵快速幂有了一定的了解，那么矩阵快速幂可以用了做什么呢？
可以去求解递推式的问题，比如斐波那契数列
下列就附上求解斐波那契数列的代码：
#include
#include
#include
#include
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long int ll;
struct mat
{
ll a[4][4];
}ans,res;
mat Mul(mat x,mat y)
{
mat t;
memset(t.a,0,sizeof(t.a));
for(int i=0;i<2;i++)
{
for(int j=0;j<2;j++)
{
for(int k=0;k<2;k++)
{
t.a[i][j]+=(x.a[i][k]*y.a[k][j]);
t.a[i][j]%=(MOD-1);
}
}
}
return t;
}
void quickMod(long long int N)
{
ans.a[0][0]=1;
ans.a[0][1]=0;
ans.a[1][0]=0;
ans.a[1][0]=1;
while(N)
{
if(N&1)
{
ans=Mul(ans,res);
}
res=Mul(res,res);
N>>=1;
}
}
int main()
{
ll n;
while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
{
res.a[0][0]=1;
res.a[0][1]=1;
res.a[1][0]=1;
res.a[1][1]=0;
quickMod(n);
printf("%lld\n",ans.a[0][0]);
}
return 0;
} 斐波那契数列还有很多变式(摘自杨紫陌学长的博客，链接https://www.cnblogs.com/yzm10/
矩阵快速幂求long long级斐波那契（变形）。
f[n]=a*f[n-1]+b*f[n-2], f[1]=a1,f[2]=a2, MOD=...
由
得：
其他变形：
1.f(n)=a*f(n-1)+b*f(n-2)+c；（a,b,c是常数）
2.f(n)=c^n-f(n-1) ；（c是常数）
