AtCoder Beginner Contest 172 F - Unfair Nim（Nim博弈，位运算）

AtCoder Beginner Contest 172 F - Unfair Nim

题意：

有 $N(2\le N\le 300)$堆石子，其中第 $i$堆有 $A_i(1\le A_i\le 10^{12})$个石子，两人进行尼姆(Nim)游戏，问至少要将多少石子从第$1$堆移到第$2$堆（不可全部移走，即只能移$0$ ~ $A_1-1$个石子），才能使得先手必败。不存在可行解时输出$-1$。

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分析：

Nim博弈的必败局面要求：$A_1\oplus A_2\oplus A_3\oplus \cdots \oplus A_N=0$

设 $X=A_3\oplus A_4\oplus A_5\oplus \cdots \oplus A_N$，$S=A_1+A_2$，移动石子后的 $A_1$和 $A_2$分别为 $a$和 $b$

则可转化题意为：
求最大的$a\le A_1$，使得下式成立
$$\{\begin{array}{l}a+b=S\\ a\oplus b=X\end{array}$$

算术加法运算和逻辑异或运算是很难联立求解的，这时候需要一个很巧妙的转化公式（易证）：
$$a+b=(a\oplus b)+2\times (a\wedge b)$$代入可得$a\wedge b=(S-X)/2$，记为$D$

则题意可进一步转化为：
求最大的$a\le A_1$，使得下式成立
$$\{\begin{array}{l}a\wedge b=D\\ a\oplus b=X\end{array}$$这样就转化为了两个逻辑运算的联立式，可以对每一个二进位进行单独考虑。


设 $a,b,D,X$某一对应二进制位分别为 $a_i,b_i,D_i,X_i$；
首先考虑若 $D_i$为 $1$， 则一定有 $a_i=1,b_i=1$，故 $a$的最小值为 $D$，即应当 令 $a$的答案初值为 $D$；
接下来为使得答案 $a$尽可能大，从二进制高位到低位进行遍历，考虑以下四种情况：

1. $D_i=1,X_i=1$
   该情况无解。
2. $D_i=1,X_i=0$
   此时一定有 $a_i=1,b_i=1$，因为 $a$的初值为 $D$，该条件已保证。
3. $D_i=0,X_i=1$
   此时可以为 $a_i=1,b_i=0$或者 $a_i=0,b_i=1$，为使得 $a$尽可能大，若有 $a+2^i\le A_1$，则令该位$a_i=1$。
4. $D_i=0,X_i=0$
   此时一定有 $a_i=0,b_i=0$，令该位保持$a_i=0$即可。

最后考虑有哪些情况输出 $-1$（无解）：

1. 当 $2$无法整除 $(S-X)$，或者 $S-X<0$时（$D<0$）时，无解；
2. 当存在 $D_i=1,X_i=1$时，无解；
3. 当 $D>A_1$时，因为 $D$是$a$的最小取值，而又必须满足$a_1\le A_1$，故该情况无解；
4. 当最后求得 $a$的最大值为 $0$时，说明至少要将$A_1$全部移给$A_2$，不合题意，无解。

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代码：

#include 
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int maxn = 5e5 + 10;
int N;
LL A[500], S, X, D, ANS;
int main()
{
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 1; i <= N; i++)
    {
        scanf("%lld", &A[i]);
        if(i <= 2)
            S += A[i];
        else
            X ^= A[i];
    }
    if(S - X < 0 || (S - X) % 2 != 0)
    {
        printf("-1\n");
        return 0;
    }
    else
        D = (S - X) / 2;
    LL ANS = D;
    for(int i = 60; i >= 0; i--)
    {
        int x = ((X >> i) & 1LL), d = ((D >> i) & 1LL);
        if(d && x)
        {
            printf("-1\n");
            return 0;
        }
        if(!d && x && (ANS | (1LL << i)) <= A[1])
            ANS |= (1LL << i);
    }
    if(ANS == 0 || ANS > A[1])
        printf("-1\n");
    else
        printf("%lld\n", A[1] - ANS);
    return 0;
}