程序基本算法习题解析 动态规划-装箱问题：有一个箱子容积为v，同时有n个物品，每个物品有一个体积。要求从n个物品中,任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间最小。

题目：

有一个箱子容积为v(0~20000)，同时有n(0~30)个物品，每个物品有一个体积。要求从n个物品中,任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间最小。输入一个整数v，表示箱子容积，一个整数n，表示物品个数。接下来输入n个整数，分别表示这n个物品的体积。输出一个整数，表示箱子剩余空间。

思路：

可设一个元素个数为 max(v)+1的数组dp[20001]，里面任意一个元素dp[i]表示箱子容积为 i 时可放入的物品的体积。因为物品的体积并不是单位体积，因此dp[i]并不一定等于 i，例如有3个物体，体积分别为3,4,5，那么容积为3和4的箱子可放入的物品的体积均为3，即dp[3] = dp[4] = 3。对于每一个物体，都有两种选择-放入或者不放入，所以外层循环可对每个物品进行遍历，而每选择一个物品，定会对大于该物品体积的dp数组元素产生影响，从而还需要一个内层数组对大于该物品体积的dp数组元素进行遍历更新。更新方法为：dp[i] = max{ dp[i] , dp[i - vi]+vi }，其中vi为当前物品的体积，max中的dp[i]表示不放入该物体时的解， dp[i - vi]+vi表示放入该物体时的解（i-vi表示给即将放入的物品留出合适的体积，如之前的例子，dp[i-vi]并不一定等于dp[i] - vi），取最大值，即为最优解。需要注意的是，需要先将dp数组中的每一个元素初始化为0。

对于如何运用 dp[i] = max{ dp[i] , dp[i - vi]+vi }，下面举个例子详细说明一下过程。

例如，箱子总容积为24,6个物品，体积分别为：8，3,12,7,9,7.

...

继续进行下去，直到遍历完所有物品。

代码如下：

// Chapter14_3.cpp : Defines the entry point for the application.
// 装箱问题
// 有一个箱子容积为v(0~20000)，同时有n(0~30)个物品，每个物品有一个体积。
// 要求从n个物品中,任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间最小。
// 输入一个整数v，表示箱子容积，一个整数n，表示物品个数。
// 接下来输入n个整数，分别表示这n个物品的体积。
// 输出一个整数，表示箱子剩余空间。

#include "stdafx.h"
#include
using namespace std;

//书上程序
int V; //箱子总容积
int n; //物品个数
int a[31]; //物品的体积
int dp[20001]; //dp[i]表示箱子容积为i时可放入的物品的体积
int main()
{
	int i,j;
	cout << "输入箱子总体积:";
	cin >> V; //输入箱子总容积
	cout << "输入物品个数：";
	cin >> n; //输入物品个数
	//初始化dp数组（全赋为0）
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	cout << "输入每个箱子的体积:" << endl;
	//输入每个箱子的体积
	for(i=0;i> a[i];
	//外循环，遍历每个箱子
	for(i=0;i=a[i];j--)
		{
			//更新方式
			dp[j] = max(dp[j],dp[j-a[i]]+a[i]);
		}
	}
	//for(i=0;i<=V;i++)
	//	cout << "箱子容积为" << i << "时，可放入的物品体积最大为:" << dp[i] << endl;
	cout << "箱子剩余空间为:" << V-dp[V] << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

运行结果如下：

我们可以看看对于0~24容积的箱子，它们最多能装入的物品体积为多少，即上面代码中注释掉的两行放开，即

for(i=0;i<=V;i++)
		cout << "箱子容积为" << i << "时，可放入的物品体积最大为:" << dp[i] << endl;

运行可得：

这个结果也可以按照之前的方式进行手动推算，有兴趣的可以试一试。