三门问题

三门问题被大众熟知是源于美国的一档电视游戏节目，因主持人的名字，又叫蒙提霍尔问题。

参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会？如果严格按照上述的条件，即主持人清楚地知道，哪扇门后是羊，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。——百度百科

 

思路一：直观的画图思维

1、不改变决策： P=1/3

2、改变决策：通过下表格，设1门后是车，其他2个门后是羊。

    黄色行，选中的是1门（后边是车），无论主持人开2门还是3门，都会露出羊，这时候换2门或者3门，换肯定不中。

    绿色行，选中的是2门（后边是羊），因为1门后边是车，主持人只能打开3门，这时候只能换到1门，换肯定中。

    紫色行，选中的是3门（后边是羊），因为1门后边是车，主持人只能打开2门，这时候只能还到1门，换肯定中。

所以通过这个表格描述，3次事件中，会有1次不中，有2次中。所以还是换后中奖的概率大。

A1门	A2门	A3门
车	羊	羊
选中	开	换	不中
换	选中	开	中
换	开	选中	中

 

思路二：贝叶斯证明

定义An=1,2,3 为第n个门后有汽车的概率，P(An)=1/3。

假设我们选择门1，主持人打开了门2，这时根据我们打开的门之后是否有汽车，主持人打开的门的概率是会有变化的：如果门1后有汽车，对于一般人（精神正常的人）来说，主持人打开门2和门3的概率基本上应该是一致的，为1/2；如果门2后有汽车，主持人打开门2的概率是0，如果门3后有汽车，主持人打开门2的概率是1。

设B为主持人打开了门2，那么我们可以得到：P(B|A1)=1/2，P(B|A2)=0，P(B|A3)=1

那在主持人打开2门后，P(A1/B)的概率是多少呢？根据贝叶斯公式 P(A1/B) =P(A1) * P(B /A1) ➗ P(B)

根据全概率公式 P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=1/2

所以P(A1/B) =1/3，当我主持人打开2门后，我们对先验概率P(A1)的值调整为了后验概率P(A1|B)，如上所见，1门后有汽车的整体概率仍然没有变化，其实变化的是P(A2|B)与P(A3|B)，P(A2)=1/3变成了P(A2|B)=0，P(A3)=1/3变成了P(A3|B)=2/3。

 

所以两种思路的结果一致，不换中奖的概率是1/3，换门中奖的概率是2/3，你说换不换？不要用陈旧的观念束缚思维，自勉。