物理四神兽-芝诺的龟

        古希腊神话中，有个特别能跑的英雄叫“阿喀琉斯”，他和一只乌龟约定赛跑，这只乌龟就是传说中和兔子赛跑的乌龟。

        然而古希腊哲学家芝诺有一个很著名的论证：跑的最快的阿喀琉斯永远追不上跑的最慢的乌龟。他的论证如下：因为开始时间阿喀琉斯是在乌龟的后面，所以阿喀琉斯要追上乌龟，他必须先要到达乌龟的出发点；而当阿喀琉斯到达乌龟出发点时，乌龟必定又已到达更前面的一点。如此无限地重复下去，就是进行无穷多次，阿喀琉斯总是追不上乌龟。

        这里的“无限”和“无穷多次”是什么意思？这就需要提到“芝诺钟”，也叫“芝诺时”：阿喀琉斯把每次到达乌龟上次所在的位置，作为一个重复的过程，这个重复的过程测得的时间称作芝诺时，以t’表示。

        如上图所示，阿喀琉斯和乌龟在开始时相距为L，速度分别为v1和v2，并且v1 > v2。如果用普通的钟计算，则阿喀琉斯将在  t = L/(v1-v2) 时赶上乌龟，当  t > L/(v1-v2) 时，阿喀琉斯就超过乌龟了。图中左边的数字表示的是芝诺时 t'：

        当 t'=1 时，阿喀琉斯到达乌龟在 t'= 0时的出发点；

        当 t'=2 时，阿喀琉斯到达乌龟在 t'= 1时的出发点；所以一般地，

        当 t'=n 时，阿喀琉斯到达乌龟在 t'= n-1时的出发点。

        显然，只有当 t'→∞时，阿喀琉斯才能追上乌龟，对于任何有限的t'，阿喀琉斯总是落在乌龟的后面。所以芝诺断言：“阿喀琉斯永远追不上乌龟”。这里“永远”的含义是是  t'→∞，即芝诺时间的无限。

        芝诺悖论在于以为 t'→∞无限是无穷无尽的时间，它认为t'→∞之后就没有时间了，故t'→∞相当于永远。实际上这个“无限”是指从t'到t之间，有无限个时间点，或者说时间是流动的，t'→∞后就收敛到t这个点了。芝诺认为，不管时间 t'如何变化，只要还没到达 t 这个时间点，阿喀琉斯就追不上乌龟。

        芝诺悖论，是来源于芝诺时的局限性，它不能度量t之后的现象。

        启示：时间与时间的度量不同，一种时间的度量达到无限之后，还是可以有时间的；反之，一种时间的度量达到无限，从其他的度量看，可能是有限的。