Guanguan's Happy water 【计蒜客 2019icpc沈阳网络赛】【高斯消元加矩阵快速幂】

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题目大意

比赛的时候这个题题意真的是读懵我了
大概就是前k天的时候guangguan每天放进冰箱ai瓶可乐，之后的天数里，他每天选择一个数（1-k），选择i的概率是pi，假设今天是第A，放进冰箱的可乐数等于第A-i天那天放进的可乐数。
现在给你前2*k天每天放进冰箱的数量期望，让你推前n天的每天期望的和

解题思路

因为前k天的可乐数是一定的，所以我们期望就等于ai
之后的天数期望就是等于f(i)=p1*(f(i-1)) + p2*(f(i-2)) + … … + pk*(f(i-k));
因为前2*k天的期望都给你了，所以可以列k个方程式，用高斯消元把p1至pk都可以求出来
然后我们可以用矩阵快速幂把第m天的期望求出来，大概矩阵是这样的

这个是期望的矩阵，然后我们要求的是前n天的期望和，那么就在之前的矩阵中再加一行

之后就是正常的矩阵快速幂了
虽然说这个题有简单的解法，一个公式就出来了，但是这个思路是我比赛的时候想出来但是没有实现的，比完赛还是打一下比较好
看着别人十四行就完的代码，我生生打了一百四十行… … … （心痛）

#include
#define mset(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
const int N=5e5+20;
const ll mod=1e9+7;

ll qpow(ll a,ll b,ll m)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%m;
        a=a*a%m;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

struct M
{
    long long m[105][105];
};

M mul(M a,M b,int siz)
{
    M c;
    memset(c.m,0,sizeof(c.m));
    for(int i=0;i<=siz;i++)
        for(int j=0;j<=siz;j++)
            for(int k=0;k<=siz;k++)
                c.m[i][j]=(c.m[i][j]+(a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod)%mod;
    return c;
}

M quick(M a,long long n,int siz)
{
    M res;
    memset(res.m,0,sizeof(res.m));
    for(int i=0;i<=siz;i++)
        res.m[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            res=mul(res,a,siz);
        n>>=1;
        a=mul(a,a,siz);
    }
    return res;
}

ll inv(ll a)
{
    return qpow(a,mod-2,mod);
}
ll g[105][105],ans[105];
ll f[220];
ll p[105];
bool solve(ll n)
{
    for(ll i=1; i<=n; ++i)
    {
        ll r=i;
        for(ll j=i+1 ; j<=n ; ++j)
            if((g[r][i]) < g[r][j])  r=i; 
        swap(g[i],g[r]);
        ll div=g[r][i];
        for(ll j=i; j<=n+1; ++j)
            g[i][j]=g[i][j]*inv(div)%mod; 
        for(ll j=i+1; j<=n; ++j)
        {
            div=g[j][i];
            for(ll p=i; p<=n+1; ++p)
            {
                g[j][p]-=div*g[i][p]%mod;
                g[i][p]=(g[i][p]+mod)%mod;
            }
        }
    }
    //回溯答案
    ans[n]=g[n][n+1];
    for(ll i=n-1; i>=1; --i)
    {
        ans[i]=g[i][n+1];
        for(ll j=i+1; j<=n; ++j)
        {
            ans[i]-=g[i][j]*ans[j]%mod;
            ans[i]=(ans[i]+mod)%mod;
        }
    }
    return true;
}
void getarrp(int k)
{
    for(int i=1; i<=k; ++i)
    {
        for(int j=1; j<=k+1; ++j)
        {
            g[i][j]=f[i+j-1];
        }
    }
    solve(k);
    for(int i=1; i<=k; ++i)
    {
        p[i]=ans[k-i+1];
    }
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        long long aa[105];
        memset(aa,0,sizeof(aa));
        int k;
        long long n;
        cin>>k>>n;
        for(int i=1; i<=2*k; ++i)
            cin>>f[i];
        getarrp(k); //高斯消元
        M a;
        for(int i=1;i<=k+1;i++)
            aa[0]+=f[i],aa[0];
        aa[1]=aa[2]=f[k+1];
        for(int i=k,j=3;i>=1;i--,j++)
            aa[j]=f[i];
        for(int i=1;i<=k;i++)
            a.m[0][i]=p[i],a.m[1][i]=p[i];
        a.m[0][0]=1;
        for(int i=2;i<=k+1;i++)
            a.m[i][i]=1;
        M b=quick(a,n-k-1,k+1);
        long long ans=0;
        for(int i=0;i<=k+1;i++)
            ans=(ans+(b.m[0][i]*aa[i])%mod)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}