中国剩余定理 - 曹冲养猪 - 洛谷 P1495

中国剩余定理 - 曹冲养猪 - 洛谷 P1495

自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始琢磨让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲很不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。

举个例子，假如有 16 头母猪，如果建了 3 个猪圈，剩下 1 头猪就没有地方安家了；如果建造了 5 个猪圈，但是仍然有 1 头猪没有地方去；如果建造了 7 个猪圈，还有 2 头没有地方去。

你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？

输入格式

第一行包含一个整数 n，表示建立猪圈的次数；

接下来 n 行，每行两个整数 ai,bi，表示建立了 ai 个猪圈，有 bi 头猪没有去处。

你可以假定 ai,aj 互质。

输出格式

输出仅包含一个正整数，即为曹冲至少养猪的数目。

数据范围

$1\le n\le 10,1\le b_i\le a_i\le 1100000，所有a_i的乘积不超过10^{18}$

输入样例：

3
3 1
5 1
7 2

输出样例：

16

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分析：

《中国剩余定理》

本题中：

$给定n个条件可列出n个方程：$

$\{\begin{array}{l}x\equiv b_1(mod{a}_1)\\ x\equiv b_2(mod{a}_2)\\ ...\\ x\equiv b_n(mod{a}_n)\end{array}，且对任意的i,j\in [1,n]，a_i与a_j互质。$

$即求x的最小正整数解。$

$满足中国剩余定理使用的前提条件，$

$通解：$

$$x=b_1{M}_1{M}_1^{-1}+b_2{M}_2{M}_2^{-1}+...+b_n{M}_n{M}_n^{-1}+kM,$$

$其中M={\prod }_{i=1}^n{a}_i，M_i=\frac{M}{a_i}，M_i^{-1}是M_i模a_i的逆元，k\in Z。$

$求M_i^{-1}：解同余方程M_{i}x\equiv 1(mod{a}_i)<=>M_{i}x+a_{i}y=1$

$扩展欧几里得算法解得x_0=M_i^{-1}$

$最后要求最小正整数解，即将x对M取模，计算最小正余数。$

代码：

#include
#include
#include

#define ll long long

using namespace std;

int n;
ll A[15],B[15];

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b) x=1,y=0;
    else
    {
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
    }
}

int main()
{
    cin>>n;
    
    ll M=1;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>A[i]>>B[i];
        M*=A[i];
    }
    
    ll res=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        ll Mi=M/A[i];
        ll ti,x;
        exgcd(Mi,A[i],ti,x);
        res+=B[i]*Mi*ti;
    }
    
    cout<<(res%M+M)%M<<endl;
    
    return 0;
}