选择排序法证明
选择排序法证明
问题重述：
有n个数（n≥2）a1, a2, …, an，从i = 1到n - 1共经历n - 1次循环，对于每一次循环i，将ai+1,…,an依次和ai作比较。对于每一次比较(ai, aj) ，其中j = i + 1, …, n，
若ai≥aj，ai, aj保持不变；
若ai < aj，则ai, aj互换位置。
则最后这n个数将降序排列。
证明：
对于每一次“比较”操作。若ai ≥ aj，ai, aj保持不变，于是ai ≥ aj；若ai < aj，则ai, aj互换位置，于是ai > aj。因此经过一次“比较”操作后恒有ai≥ aj。下面直接引用此结论。
对于每一次以下标i开始的循环，对j - i作数学归纳法。
进行了第j – i = 1次比较后，由上面结论知，ai≥ aj。所以ai是ai, …, aj中最大的数。
假设当j – i = k 时“ai是ai, …, aj中最大的数”成立。则当j – i = k + 1时，
由上面结论知，ai≥ aj，于是aj不超过ai--根据假设即ai, …, aj-1中最大的数。于是ai, …, aj-1中最大的数ai仍是ai, …, aj中最大的数。
由数学归纳法原理可知。ai是ai, …, an中最大的数。
完成排序后，由刚才对i的讨论的任意性可知a1 = max(a1, …, an), a2 = max(a2, …, an), …, an-1 = max(an-1, an)。
因为max(a1, …, an) ≥ max(a2, …, an) ≥ ... ≥ max(an-1, an)，≥ an
所以a1≥ a2≥ ... ≥ an。
证毕。#
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紫数 2009-06-25于上海大学