欧拉定理 & 费马定理吗 & 欧几里得 & 扩展欧几里得

（一）欧拉定理：

互质：若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。

 

在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:

       a^[φ(n)]≡1 （mod n）

其中：      φ函数的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

 

证明

将1~n中与n互质的数按顺序排布：x1,x2……xφ(n) （显然，共有φ(n)个数）

我们考虑这么一些数：

     m1=a*x1;       m2=a*x2;        m3=a*x3       ……      mφ(n)=a*xφ(n)

1）这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) （这里假定mS更大一些），就有：

mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质，a与n的最大公因子是1，而xS-xR

2）这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么a*xi=pn+qr=r(……)，a*xi与n不互质，而这是不可能的。那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.

由1）和2）可知，数m1,m2,m3……mφ(n)（如果将其次序重新排列）必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).

故得出：m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)

或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n) （mod n）

     ( 公式： ａ＝ｂ（ｍｏｄ　ｎ）　＜＝＞　ａ＋ｃ＝ｂ＋ｃ（ｍｏｄ　ｎ）　

＜＝＞　ａ－ｂ＝0　（ｍｏｄ　ｎ）　)

或者为了方便：K{a^[φ(n)]-1}（mod  n）≡0 这里K=x1*x2*x3……xφ(n)。

可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都与n互质，所以K与n互质。那么a^[φ(n)]-1必须能被n整除，即a^[φ(n)]-1≡0 （mod n），即a^[φ(n)]≡1 （mod n），得证。

 

（二）费马小定理:

a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

证明这个定理非常简单，由于p是质数，所以有φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。推论：对于任意正整数a，有a^p ≡ a (mod p)，因为a能被p整除时结论显然成立。

 

（三）费马大定理

n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

 证明过程：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6a7ad6300100wupt.html 

 

（四）欧几里得定理 &扩展欧几里得定理

        here