jzoj6437. 【GDOI2020模拟01.16】划愤
Description
Input
输入共N +1行：
Output
Sample Input
Sample Input1：
2
1 2
3 4
Sample Input2：
2
1 2
2 3
Sample Output
Sample Output1：
xiaoDyingle
Sample Output2：
xiaoDwandanle
Data Constraint
赛时
题意：现在有 N ! N! N!个N维向量，然后每次找到一个向量x使得向量x中每个元素都大于0。再自己搞出一个新的向量y，使得向量y中每个元素都小于向量x中每个元素。接着选取其中任意多个元素替换掉x，那么就产生了 2 n 2^n 2n个新向量。再删掉向量x。
最后谁没得操作谁就GG了。答案你懂得。
比赛当然木有任何的思路，甚至样例都没有推出来。
直接输出先手胜利有25分，特判一个奇妙的东东有70分，加上暴力有90分。
无奈.jpg
题解
这题是真的奇妙♂。网上只有一个论文，关于二维的，看了好久才看懂。
然后这道题还™的是多维的。
苦想了我两晚上。
首先我们来康康二维的：
二维的问题其实相当于这样：
给你一个平面，然后其中有很多硬币，有的是正的，有的是反的。
现在你要选择一个矩形使得其中右下角的硬币是正的，然后把四个顶点都翻转。
求先手是否必胜。
显然我们利用奇妙的方法做，只会暴力。
NIM积
那么我们就引出这个NIM积的概念：
x ⊗ y = m e x 0 < = a < x , 0 < = b < y ( ( a ⊗ b ) ⊕ ( a ⊗ y ) ⊕ ( x ⊗ b ) ) x\otimes y=mex_{0<=a
其中 ⊕ \oplus ⊕表示异或。（NIM和）
打表可得：
发现什么性质？
x ⊗ 0 = 0 ⊗ x = 0 x\otimes 0=0\otimes x=0 x⊗0=0⊗x=0
x ⊗ 1 = 1 ⊗ x = x x\otimes 1=1\otimes x=x x⊗1=1⊗x=x
x ⊗ y = y ⊗ x x\otimes y=y\otimes x x⊗y=y⊗x
其实用处不大。
有用的是数学家们弄出来的结论：
如果把 ⊕ \oplus ⊕看做+，把 ⊗ \otimes ⊗看做*
那么这玩意儿满足任何的加和乘的结合律、分配率、交换律等等。
证明我不肥。
然后还有更为惊骇世俗的结论，有关费马数。
x , y < 2 2 k , x ⊗ y < 2 2 k x,y<2^{2^k},x\otimes y<2^{2^k} x,y<22k,x⊗y<22k
x ∗ 2 2 k = x ⊗ 2 2 k x*2^{2^k}=x\otimes 2^{2^k} x∗22k=x⊗22k
2 2 k ⊗ 2 2 k = 3 2 2 2 k 2^{2^k}\otimes2^{2^k}=\frac 3 22^{2^k} 22k⊗22k=2322k
证明我当然不肥。
只要会用就好了：
我们考虑求x和y的NIM积：（设 x < y x
找出最大的k满足： 2 2 k < = x 2^{2^k}<=x 22k<=x设 M = 2 2 k M=2^{2^k} M=22k
那么x和y可以表达成：
x = a ∗ M + b , y = p ∗ M + q x=a*M+b,y=p*M+q x=a∗M+b,y=p∗M+q
那么 x ⊗ y x\otimes y x⊗y（为了方便，下面都用*或+表示）
= ( a ∗ M + b ) ∗ ( p ∗ M + q ) =(a*M+b)*(p*M+q) =(a∗M+b)∗(p∗M+q)
= a ∗ p ∗ M ∗ M + b ∗ p ∗ M + a ∗ q ∗ M + b ∗ q =a*p*M*M+b*p*M+a*q*M+b*q =a∗p∗M∗M+b∗p∗M+a∗q∗M+b∗q
= 3 2 a ∗ p ∗ M + b ∗ p ∗ M + a ∗ q ∗ M + b ∗ q =\frac 3 2a*p*M+b*p*M+a*q*M+b*q =23a∗p∗M+b∗p∗M+a∗q∗M+b∗q
= M ∗ ( a ∗ p + b ∗ p + a ∗ q ) + b ∗ q + a ∗ p ∗ 1 2 ∗ M =M*(a*p+b*p+a*q)+b*q+a*p*\frac 1 2*M =M∗(a∗p+b∗p+a∗q)+b∗q+a∗p∗21∗M
到这一步，其实就差不多了。
那么我们每次递归下去求解上面那些奇怪的东西就好了。
当然，可以暴力求出某些范围内的sg值即可。
这里推荐 ( 0 − 511 , 0 − 511 ) (0-511,0-511) (0−511,0−511)。
时间大概是 O ( l o g 2 x ) O(log^2x) O(log2x)
证明应该是根据它每次做类似于去更号得到的。
回归正题：
回到原来的题目，其实你还是会发现不太会做。
一种暴力的方法：
枚举N!次，把每个独立的游戏都枚举出来。
计算一个向量的sg值其实就相当于取其中两两元素的积，一直这样求下去即可。
然后把这些独立的游戏异或起来即可。
然鹅慢！
考虑优化？
我们发现其中有奇妙的东东：
这玩意儿计算方法其实就是行列式的定义：（虽说百度上面那个定义有点鬼畜，没看懂）
一个n阶行列式中，n个不同行，不同列（编号组成一个排列）的元素的乘积，称为一个项。
行列式的定义：行列式的所有的项乘上(-1)^(排列逆序对个数)的代数和。
那么我们不就可以把上面的定义中乘积定义为NIM积，把和定义为NIM和。
其中那个-1可以不用管它，因为异或的加法逆元是他自己。
大功告成~具体怎么做看下面：
高斯消元求行列式
那么如果算出来的sg值为0，则必败，否则必胜。
然后还有一个小细节：
当求NIM积的逆元时，可以发现其中的费马数是可以用费马小定理来求的。
证明的话，据说其是封闭性的。我太菜了，只能感性理解。
标程
调了好久，最后还T飞了。（原谅我开O3）
#include