【证明】欧拉定理及广义欧拉定理

网上现在讲欧拉定理证明的文章好少啊，于是博主就在学习之后萌发了写一篇证明的想法，供大家参考。其实主要是自己找资料找得太辛苦，想为后来人节约一点时间罢了。

欧拉函数：

记为$\varphi (n)$或$\phi (n)$，程序中一般写作$phi[n]$，读法为$fai$，表示小于$n$且与$n$互质的数的个数。形式化一点的描述为ϕ(n)=∑i=1n[gcd(i,n)==1]\phi(n)=\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)==1]ϕ(n)=i=1∑n​[gcd(i,n)==1]

其中$[]$符号表示若其中表达式为真，则这一项的值为1，否则为0。
不过这个符号$\phi$更多用作推式子时候的变量而不是函数名

欧拉定理：

一般的欧拉定理叙述为：对于$\forall a,m$，若$gcd(a,m)=1$，则∀n,an≡anmod  ϕ(m)(mod m)\forall n,a^n\equiv a^{n\mod \phi(m)}(mod\text{ }m)∀n,an≡anmodϕ(m)(mod m)

证明：

将$1$至$m$中所有与$m$互质的数列出，记为x1,x2...xϕ(m)x_1,x_2...x_{\phi(m)}x1​,x2​...xϕ(m)​。

每一项乘上$a$，形成的数列是ax1,ax2...axϕ(m)ax_1,ax_2...ax_{\phi(m)}ax1​,ax2​...axϕ(m)​。

可以证明，在模$m$意义下，这两个数列是等价的，即它们可以构成一一对应，因为$gcd(a,m)==1$。（证明很简单，这里就不详讲了）
那么我们将两个数列分别相乘，得到∏i=1ϕ(m)xi≡∏i=1ϕ(m)axi(mod m)\prod_{i=1}^{\phi(m)}x_i\equiv \prod_{i=1}^{\phi(m)}ax_i(mod\text{ }m)i=1∏ϕ(m)​xi​≡i=1∏ϕ(m)​axi​(mod m)
即∏i=1ϕ(m)xi≡aϕ(m)∏i=1ϕ(m)xi(mod m)\prod_{i=1}^{\phi(m)}x_i\equiv a^{\phi(m)}\prod_{i=1}^{\phi(m)}x_i(mod\text{ }m)i=1∏ϕ(m)​xi​≡aϕ(m)i=1∏ϕ(m)​xi​(mod m)
那么就有aϕ(m)≡1(mod m)a^{\phi(m)}\equiv 1(mod \text{ }m)aϕ(m)≡1(mod m)
得证。

广义欧拉定理：

广义欧拉定理的叙述为：对于$\forall a,m$，若gcd(a,m)≠1gcd(a,m)\ne 1gcd(a,m)̸​=1，则有an≡an mod ϕ(m)(mod m),(n<ϕ(m))a^n\equiv a^{n\text{ }mod\text{ }\phi(m)}(mod\text{ }m), (n<\phi(m))an≡an mod ϕ(m)(mod m),(n<ϕ(m))an≡an mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m),(otherwise)a^n\equiv a^{n\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m), (otherwise)an≡an mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m),(otherwise)
我必须承认，第一句是废话，但是定理的叙述里面一直都有这句，本着严谨的态度，我还是把它搬上来了。。。（我自己都觉得无语）。
其实思维敏锐的读者也会发现，欧拉定理也满足广义欧拉定理，所以gcd(a,m)≠1gcd(a,m)\ne 1gcd(a,m)̸​=1这个条件也可以去掉。

接下来我们试着证明一下第二条。an≡an mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)a^n\equiv a^{n\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m)an≡an mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
为了方便叙述，我们给几个定理及定义：

将$a$的0次，1次，…，$b$次幂模$m$的结果排成一个序列，前$r$个数(a0a^0a0到ar−1a^{r-1}ar−1)互不相同，从第$r$个数开始，每$s$个数就循环一次。
可以用鸽巢原理证明，这样的$r$和$s$总是存在的。
我们称$r$为a的幂次模$m$的循环起始点，$s$为循环长度。注意$r$可能为0，但$s$一定不为0。

开始证明：

1.当$a$为素数。

显然m=arm′m=a^rm'm=arm′，则gcd(a,m′)=1gcd(a,m')=1gcd(a,m′)=1，所以我们有aϕ(m′)≡1(mod m′)a^{\phi(m')}\equiv1(mod\text{ }m')aϕ(m′)≡1(mod m′)又由于gcd(ar,m′)=1gcd(a^r,m')=1gcd(ar,m′)=1，所以ϕ(m′)∣ϕ(m)\phi(m')|\phi(m)ϕ(m′)∣ϕ(m)，所以aϕ(m)≡1(mod m′)a^{\phi(m)}\equiv1(mod\text{ }m')aϕ(m)≡1(mod m′)
即aϕ(m)=km′+1a^{\phi(m)}=km'+1aϕ(m)=km′+1两边同时乘以ara^rar，得ar+ϕ(m)=km+ar,because m=arm′a^{r+\phi(m)}=km+a^r,because\text{ }m=a^rm'ar+ϕ(m)=km+ar,because m=arm′
所以ar≡ar+s(mod m)a^r≡a^{r+s}(mod\text{ }m)ar≡ar+s(mod m)，这里$s=\varphi (m)$，其实到这里证明已经快要接近尾声了，有兴趣的读者可以自己手推一下。

又由于m=arm′m=a^rm'm=arm′，所以ϕ(m)≥ϕ(pr)=pr−1(p−1)≥r\phi(m)\ge\phi(p^r)=p^{r-1}(p-1)\ge rϕ(m)≥ϕ(pr)=pr−1(p−1)≥r
所以ar≡ar+ϕ(m)≡ar mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)a^r\equiv a^{r+\phi(m)}\equiv a^{r\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m)ar≡ar+ϕ(m)≡ar mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
所以ab≡ar+(b−r) mod ϕ(m)a^b\equiv a^{r+(b-r)\text{ }mod\text{ }\phi(m)}ab≡ar+(b−r) mod ϕ(m)≡ar mod ϕ(m)+ϕ(m)+(b−r) mod ϕ(m)\equiv a^{r\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)+(b-r)\text{ }mod\text{ }\phi(m)}≡ar mod ϕ(m)+ϕ(m)+(b−r) mod ϕ(m)≡aϕ(m)+b mod ϕ(m)(mod m)\equiv a^{\phi(m)+b\text{ }mod\text{ }\phi(m)}(mod\text{ }m)≡aϕ(m)+b mod ϕ(m)(mod m)
即ab≡ab mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)a^b≡a^{b\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m)ab≡ab mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
第一情况得证。
这种情况证明出来了，马上我们的证明就要完成了。

2.$a$是质数$p$的整数次幂

令a=pka=p^ka=pk。
显然仍然有ar′≡ar′+s′(mod m)a^{r'} \equiv a^{r'+s'}(mod\text{ }m)ar′≡ar′+s′(mod m)其中s′=ϕ(m)s'=\phi(m)s′=ϕ(m)。

由于对于质数我们有pr≡pr+s(mod m)p^r \equiv p^{r+s}(mod\text{ }m)pr≡pr+s(mod m)而将$m$中的质因子$p$除去后的m′m'm′，我们有ps≡1(mod m′)p^s\equiv1 (mod\text{ }m')ps≡1(mod m′)。所以ps∗k/gcd(s,k)≡1(mod m′)p^{s*k/gcd(s,k)}\equiv 1(mod\text{ }m')ps∗k/gcd(s,k)≡1(mod m′)。
当ps′k≡1(mod m′)p^{s'k}≡1(mod\text{ }m')ps′k≡1(mod m′)时，我们有s′=s/gcd(s,k)s'=s/gcd(s,k)s′=s/gcd(s,k)。

此时s′∣s∣ϕ(m)s'|s|\phi(m)s′∣s∣ϕ(m)，且r′=⌈rk⌉≤r≤ϕ(m)r'=\lceil \frac{r}{k}\rceil\le r\le\phi(m)r′=⌈kr​⌉≤r≤ϕ(m)。

由r′,s′r',s'r′,s′与$\varphi (m)$的关系，依然可以得到ab≡ab mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)a^b≡a^{b\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m)ab≡ab mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)

3.$a$是合数

考虑$a$是$t$个素数的整数次幂的积的情况。
设a=∏i=1ta=\prod_{i=1}^{t}a=∏i=1t​，ai=pikia_i=p_i^{k_i}ai​=piki​​，aia_iai​在模$m$意义下的循环节长度为sis_isi​

则$a$的循环长度$s$必有s∣lcm(si)s|lcm(s_i)s∣lcm(si​)，而si∣ϕ(m)s_i|\phi(m)si​∣ϕ(m)，所以lcm(si)∣ϕ(m)lcm(s_i)|\phi(m)lcm(si​)∣ϕ(m)，所以$s|\varphi (m)$

并且我们可以推出$a$在循环前的长度r=max⌈riki⌉≤max{ri}≤ϕ(m)r=max{\lceil \frac{r_i}{k_i}\rceil}\leq max\{r_i\}\leq\phi(m)r=max⌈ki​ri​​⌉≤max{ri​}≤ϕ(m)。
所以，当$a$是合数时，我们仍然有ab≡ab mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)a^b≡a^{b\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m)ab≡ab mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)

广义欧拉定理得证

以上就是关于欧拉定理内容及证明的叙述，欧拉函数的更多性质我会写在积性函数的总结里面。

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