[2020牛客暑期多校训练营第九场] E.Groundhog Chasing Death 唯一分解+欧拉降幂
题目链接：E.Groundhog Chasing Death
题意
题意很简单，求 ∏ i = a b ∏ i = c d g c d ( x i , y j ) { \prod_{i=a}^b \prod_{i=c}^d gcd(x^i,y^j)} ∏i=ab∏i=cdgcd(xi,yj)，答案对998244353取模。
( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 3 ∗ 1 0 6 ， 0 < x , y ≤ 1 0 9 ， a ≤ b ， c ≤ d ) {(0≤a,b,c,d≤3*10^6，0
题解
暴力 O ( n 2 l o g n ) {O(n^2logn)} O(n2logn)的时间复杂度，很明显不合情理，我们需要分析题目转化求解。
我们可以从唯一分解定理入手。
(唯一分解定理：任何一个大于1的自然数N，如果N不为质数，都可以分解为有限个质数的乘积 N = P 1 a 1 P 2 a 2 P 3 a 3 . . . . . . P n a n {N=P_1^{a_1}P_2^{a_2}P_3^{a_3}......P_n^{a_n}} N=P1a1P2a2P3a3......Pnan，这里 p 1 < p 2 < . . . < p n {p_1
很容易想到gcd(a,b)为a,b唯一分解后，出现公共质数最小指数次方的乘积。
那么此题可以转化为：
∏ i = a b ∏ i = c d g c d ( x i , y j ) = {\prod_{i=a}^b \prod_{i=c}^d gcd(x^i,y^j)=} ∏i=ab∏i=cdgcd(xi,yj)=
p 1 ∑ i = a i = b ∑ j = c j = d m i n ( a 1 ∗ i , b 1 ∗ j ) ∗ p 2 ∑ i = a i = b ∑ j = c j = d m i n ( a 2 ∗ i , b 2 ∗ j ) ∗ . . . . . . . . . ∗ p x ∑ i = a i = b ∑ j = c j = d m i n ( a x ∗ i , b x ∗ j ) {p_1^{\sum_{i=a}^{i=b}\sum_{j=c}^{j=d} min(a_1*i,b_1*j)}*p_2^{\sum_{i=a}^{i=b}\sum_{j=c}^{j=d} min(a_2*i,b_2*j)}*.........*p_x^{\sum_{i=a}^{i=b}\sum_{j=c}^{j=d} min(a_x*i,b_x*j)}} p1∑i=ai=b∑j=cj=dmin(a1∗i,b1∗j)∗p2∑i=ai=b∑j=cj=dmin(a2∗i,b2∗j)∗.........∗px∑i=ai=b∑j=cj=dmin(ax∗i,bx∗j)
（x为a,b唯一分解后出现公共质数的个数， a i , b i {a_i,b_i} ai,bi分别对应a,b唯一分解后该质数所对应的指数）
现在只要处理了 ∑ i = a i = b ∑ j = c j = d m i n ( a 1 ∗ i , b 1 ∗ j ) {\sum_{i=a}^{i=b}\sum_{j=c}^{j=d} min(a_1*i,b_1*j)} ∑i=ai=b∑j=cj=dmin(a1∗i,b1∗j)这类式子，本题基本就迎刃而解了。
我们可以枚举i，取 t = a 1 ∗ i / b 1 {t=a_1*i/b_1} t=a1∗i/b1
如果 j ≥ t ， 可 知 a 1 ∗ i ≤ b 1 ∗ j {j≥t，可知a1*i≤b1*j} j≥t，可知a1∗i≤b1∗j，此时答案为 a 1 ∗ i ∗ ( d − t + 1 ) {a_1*i*(d-t+1)} a1∗i∗(d−t+1)
如果 j < t ， 此 时 答 案 为 b 1 ∗ ( c + c + 1 + . . . . . + t − 1 ) {j
注意 t 和区间 [c,d]的位置关系。
注意在计算 ∑ i = a i = b ∑ j = c j = d m i n ( a 1 ∗ i , b 1 ∗ j ) {\sum_{i=a}^{i=b}\sum_{j=c}^{j=d} min(a_1*i,b_1*j)} ∑i=ai=b∑j=cj=dmin(a1∗i,b1∗j)的过程中可能需要取模，由于我们求的是指数，所以根据欧拉降幂指数取模应取 ϕ ( m o d ) {\phi(mod)} ϕ(mod)
代码
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