状态压缩动态规划——最小总代价

状态压缩

一个包含n个元素的集合，该集合的子集可以表示为从$0$~$2^n-1$的是一个十进制整数。 例如：一共有5个人，第0、3个人被选择，就用$(01001{)}_2$表示，那么该子集对应的十进制数为9。此谓状态压缩。

算法思想

状态压缩

把传递过物品的人的集合压缩为一个整数i，用i的二进制表示这个集合。例如：一共有5个人，第0、3个人被传递过，就用$(01001{)}_2$表示，该集合的十进制表示为9。

状态表示

f[i][j]表示当前传递过物品的人的集合为i、最后一个传递到的人为j的情况下的最小代价。

状态转移

因为j是最后一个被传递到的人，也就是说j必须包含在集合i中，那么合法状态必须满足(i >> j) & 1 != 0。

如果能从j转移到下一个人k，那k必须不在集合i中，那么必须满足(i >> k) & 1 == 0。

转移方程为f[i | 1 << k][k] = min(f[i | 1 << k][k], f[i][j] + g[j][k])

初始状态

因为开始时物品可以在任意一人手上，此时最小代价为0，所以f[1 << i][i] = 0，其它状态为无穷大。

时间复杂度

$O(n\times n\times 2^n)$

状态数：$n\times 2^n$
转移次数： $n$

代码实现

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 20, M = 1 << N, INF = 0x3f3f3f3f;

int f[M][N];
int g[N][N];
int n;
int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        for(int j = 0; j < n; j ++)
            cin >> g[i][j];

    //初始化f[i][j]
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        f[1 << i][i] = 0; //开始时，物品可以在任何人手里

    //遍历所有集合
    for(int i = 0; i < 1 << n; i ++)
    {
        //遍历当前阶段的最后一个人的编号
        for(int j = 0; j < n; j ++)
        {
            if(i >> j & 1) //如果当前集合包含编号为j的人，则认为是合法状态
            {
                for(int k = 0; k < n; k ++)
                {
                    if((i >> k & 1) == 0) //如果当前集合不包含编号为k的人，才能进行转移
                        f[i | 1 << k][k] = min(f[i | 1 << k][k], f[i][j] + g[j][k]);
                }
            }
        }
    }

    int res = INF;

    //打擂台求所有人的传递过时最小值
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        res = min(res, f[(1 << n) - 1][i]);

    cout << res << endl;

    return 0;
}