二分图-最大匹配,最小路径覆盖,最小点覆盖(KM算法)

const int maxn = 1024; struct KM { int n; // X 的大小 int weight [maxn][maxn]; // X 到 Y 的映射(权重) int lx[maxn], ly[maxn]; // 标号 bool sx[maxn], sy[maxn]; // 是否被搜索过 int match[maxn]; // Y(i) 与 X(match [i]) 匹配 void init (int size) { // 初始化权重 // 根据实际情况,添加代码以初始化 n = size; memset(weight,0,sizeof(weight)); } void add_edge(int left,int right,int W) { weight[left][right]=W; } bool path (int u) { //从 X(u) 寻找增广道路,找到则返回 true sx [u] = true; for (int v = 0; v < n; v ++) if (!sy [v] && lx[u] + ly [v] == weight [u] [v]) { sy [v] = true; if (match [v] == -1 || path (match [v])) { match [v] = u; return true; } } return false; } int bestmatch (bool maxsum) { // 参数 maxsum 为 true ,返回最大权匹配,否则最小权匹配 int i, j; if (!maxsum) { for (i = 0; i < n; i ++) for (j = 0; j < n; j ++) weight [i] [j] = -weight [i] [j]; } for (i = 0; i < n; i ++) { // 初始化标号 lx [i] = -0x1FFFFFFF; ly [i] = 0; for (j = 0; j < n; j ++) if (lx [i] < weight [i] [j]) lx [i] = weight [i] [j]; } memset (match, -1, sizeof (match)); for (int u = 0; u < n; u ++) while (1) { memset (sx, 0, sizeof (sx)); memset (sy, 0, sizeof (sy)); if (path (u)) break; int dx = 0x7FFFFFFF; // 修改标号 for (i = 0; i < n; i ++) if (sx [i]) for (j = 0; j < n; j ++) if(!sy [j]) dx = min (lx[i] + ly [j] - weight [i] [j], dx); for (i = 0; i < n; i ++) { if (sx [i]) lx [i] -= dx; if (sy [i]) ly [i] += dx; } } int sum = 0; for (i = 0; i < n; i ++) sum += weight [match [i]] [i]; if (!maxsum) { sum = -sum; for (i = 0; i < n; i ++) for (j = 0; j < n; j ++) weight [i] [j] = -weight [i] [j]; // 如果需要保持 weight [ ] [ ] 原来的值,这里需要将其还原 } return sum; } } km;

正式的定义,网上一大把,但他们的作用是让人看不懂……
二分图:把点分成两个集合X,Y,使得图的边的两个端点总是分别落在X和Y上,不会有X中的点连向X中的点,不会有Y中的点连向Y中的点


匹配:实质上是二分图中的一个边集,边集中出现的点不会重合,比如有a-b了,就不会有a-c了,要是有了a就重合了

最大匹配:这个边集的数目最大的那个匹配

匈牙利算法——

增广路:一条在X和Y之间交错的路径,【这条路上一条是匹配边,一条不是匹配边】,如此相交错,
其中第一条和最后一条边不是匹配边,(所以增广路的长度一定为奇数,不是匹配边的数目比是匹配边的数目多1),

按matrix67的神说法,当我们把这条路上不是匹配边的那些换成要匹配的,原来是匹配的换成不要匹配的,匹配数就+1

所以当有增广路存在时说明匹配数可以再增大

二分图中最小点覆盖等于最大匹配数

最小点覆盖:实质是个点集,点集里面的点能覆盖所有的边,最小点覆盖就是满足这个要求的点集中点数最小的那个

证明:所有的边分为匹配的(A)边和不是匹配的边(B),最小点覆盖的点集就是要每条匹配的边两端顶点中的一个,
比如现在有x1-y1属于A,x1-y2属于B,对于x1-y1这条匹配边取x1而不取y1,这样就能覆盖到x1-y2,即B也能覆盖到

二分图中最小边覆盖=顶点数-最小点覆盖(最大匹配)

最小边覆盖:实质是个边集,这个集合里的边能覆盖所有的点,最小边覆盖是满足这个要求的所有边集中边数最少的一个
这里顶点数等于总的顶点数,是二分图两边的顶点数,不是一边

证明:设最大匹配数为m,总顶点数为n。为了使边数最少,又因为一条边最多能干掉两个点,所以尽量用边干掉两个点
也就是取有匹配的那些边,当然这些边是越多越好,那就是最大匹配了,所以先用最大匹配数目的边干掉大多数点
剩下的解决没有被匹配的点,就只能一条边干掉一个点了,设这些数目为a
显然,2m+a=n,而最小边覆盖=m+a,
所以最小边覆盖=(2m+a)-m=n-m

最小路径覆盖

最小路径覆盖(path covering):是“路径” 覆盖“点”,即用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图G的所有顶点,即每个顶点严格属于一条路径。路径的长度可能为0(单个点)。

 

最小路径覆盖数=原图G的顶点数-二分图的最大匹配数


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