树形dp基础题 最大子树和(洛谷 P1122)

最大子树和

题目描述

小明对数学饱有兴趣,并且是个勤奋好学的学生,总是在课后留在教室向老师请教一些问题。一天他早晨骑车去上课,路上见到一个老伯正在修剪花花草草,顿时想到了一个有关修剪花卉的问题。于是当日课后,小明就向老师提出了这个问题:

一株奇怪的花卉,上面共连有N朵花,共有 N−1条枝干将花儿连在一起,并且未修剪时每朵花都不是孤立的。每朵花都有一个“美丽指数”,该数越大说明这朵花越漂亮,也有“美丽指数”为负数的,说明这朵花看着都让人恶心。所谓“修剪”,意为:去掉其中的一条枝条,这样一株花就成了两株,扔掉其中一株。经过一系列“修剪“之后,还剩下最后一株花(也可能是一朵)。老师的任务就是:通过一系列“修剪”(也可以什么“修剪”都不进行),使剩下的那株(那朵)花卉上所有花朵的“美丽指数”之和最大。

老师想了一会儿,给出了正解。小明见问题被轻易攻破,相当不爽,于是又拿来问你。

输入格式

第一行一个整数 N(1≤N≤16000)。表示原始的那株花卉上共N朵花。

第二行有N个整数,第I个整数表示第I朵花的美丽指数。

接下来N−1行每行两个整数a,b,表示存在一条连接第a朵花和第b朵花的枝条。

输出格式

一个数,表示一系列“修剪”之后所能得到的“美丽指数”之和的最大值。保证绝对值不超过2147483647。


有道线性dp的基础题 求 最大子段和,思维和这个差不多,最大的差别在于一个是线性结构,一个是树形结构;

线性的状态转移方程是 dp[i]=max(dp[i]+a[i],a[i]),意思 i 为结尾点的最大连续子段和;

树形的状态转移方程是 dp[i]+=max(dp[j],0),表示以 i 为根结点,j 是 i 的子节点的最大连通块之和;

这题再次表明了树形dp跟线性的区别,一个是由上到下,一个是由下到上;

代码:

#include
#define LL long long
#define pa pair
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=20010;
const int M=2000100;
const LL mod=1e8-3;
int n,a[N],head[N],cnt,dp[N],ans;
struct Node{
	int to,nex;
}edge[N*2];
void add(int p,int q){
	edge[cnt].to=q;
	edge[cnt].nex=head[p];
	head[p]=cnt++;
}
void dfs(int sn,int fa){
	dp[sn]=a[sn];
	for(int i=head[sn];~i;i=edge[i].nex){
		int v=edge[i].to;
		if(v!=fa){
			dfs(v,sn);
			dp[sn]+=max(0,dp[v]);
		}
	}
	ans=max(dp[sn],ans);
}
int main(){
	memset(head,-1,sizeof(head));
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	for(int i=1;i<n;i++){
		int p,q;
		scanf("%d%d",&p,&q);
		add(p,q),add(q,p);
	}
	dfs(1,0);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

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