洛谷P1072 Hankson 的趣味题 （题目 + 代码 + 详细注释）

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1072

题目描述

Hanks 博士是 BT（Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c_1c1​ 和 c_2c2​ 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a_0,a_1,b_0,b_1a0​,a1​,b0​,b1​，设某未知正整数 xx 满足：

1． xx 和 a_0a0​ 的最大公约数是 a_1a1​；

2． xx 和 b_0b0​ 的最小公倍数是 b_1b1​。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 xx。但稍加思索之后，他发现这样的 xx 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 xx 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

第一行为一个正整数 nn，表示有 nn 组输入数据。接下来的nn 行每行一组输入数据，为四个正整数 a_0,a_1,b_0,b_1a0​,a1​,b0​,b1​，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a_0a0​ 能被 a_1a1​ 整除，b_1b1​ 能被 b_0b0​ 整除。

输出格式

共 nn 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 xx，请输出 00，若存在这样的 xx，请输出满足条件的 xx 的个数；

输入输出样例

输入 #1复制

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

输出 #1复制

6 
2

说明/提示

样例解释

第一组输入数据，xx可以是 9,18,36,72,144,2889,18,36,72,144,288，共有 66 个。

第二组输入数据，xx 可以是 48,177648,1776，共有 22 个。

数据范围

• 对于 50\%50% 的数据，保证有 1\leq a_0,a_1,b_0,b_1 \leq 100001≤a0​,a1​,b0​,b1​≤10000 且 n \leq 100n≤100。
• 对于 100\%100% 的数据，保证有 1 \leq a_0,a_1,b_0,b_1 \leq 2 \times 10^91≤a0​,a1​,b0​,b1​≤2×109 且 n≤2000n≤2000。

NOIP 2009 提高组 第二题

注：严格意义上说我并没有AC，我一开始自己做只得到了50分，然后看了洛谷的题解才AC的。所以我的思路都是参考了洛谷的，然而我不知道怎么把转载洛谷的题解，所以就自己写了一篇CSDN的博客。如有侵权，还请联系删除，谢谢！

题意：题意很简单，就是x 和a0的最大公约数是a1， x和b0的最小公倍数是b1，求这样的x有多少个

思路：很明显会用到欧几里得算法，求最大公约数和最小公倍数。可以遍历b1的因数，如果满足“x 和a0的最大公约数是a1， x和b0的最小公倍数是b1”，那么ans就+1

重点：怎么判断一个数满足“x 和a0的最大公约数是a1， x和b0的最小公倍数是b1”，如果直接用gcd和lcm两个函数，肯定会超时的（因为有的数据量很大，递归层数过多）

实现方法（也是转自洛谷：清远学会）：

代码：

#include
using namespace std;
const int N = 105;
const int INF = 0x3fffffff;
typedef long long ll;

ll gcd(ll x, ll y) {            //求两数的最大公约数
	ll r = x % y;
	if (!r) return y;
	return gcd(y, r);
}

/* ll lcm(ll x, ll y) {              //求两数的最小公倍数（本题用不到
	return x * y / gcd(x, y);
}  */              

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	while (n--) {
		int a0, a1, b0, b1, ans = 0;
		cin >> a0 >> a1 >> b0 >> b1;
		int p = a0 / a1, q = b1 / b0;
		for (int x = 1; x * x <= b1; x++)
			if (b1 % x == 0) {
				if (x % a1 == 0 && gcd(p, x / a1) == 1 && gcd(q, b1 / x) == 1) ans++;
				int y = b1 / x;
				if (x == y) continue;
				if (y % a1 == 0 && gcd(p, y / a1) == 1 && gcd(q, b1 / y) == 1) ans++;
			}
		cout << ans << endl;
	}


	return 0;
}