fzu 2020 Lucas 定理，组合数求模模板

Problem 2020 组合

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 Problem Description

给出组合数C(n,m), 表示从n个元素中选出m个元素的方案数。例如C(5,2) = 10, C(4,2) = 6.可是当n,m比较大的时候，C(n,m)很大！于是xiaobo希望你输出 C(n,m) mod p的值！

 Input

输入数据第一行是一个正整数T,表示数据组数 (T <= 100) 接下来是T组数据，每组数据有3个正整数 n, m, p (1 <= m <= n <= 10^9, m <= 10^4, m < p < 10^9, p是素数)

 Output

对于每组数据，输出一个正整数，表示C(n,m) mod p的结果。

 Sample Input

25 2 35 2 61

 Sample Output

110

 Source

FOJ有奖月赛-2011年04月（校赛热身赛）

这个题目用到了Lucas定理，主要是用于对组合数进行取模，

lucas 定理:

A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0]) modp同余

即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) 

C(n,m)=(n*(n-1)***(n-m+1))/(1*2*3***m)，其中a= (n*(n-1)***(n-m+1))，b=(1*2*3***m)

比较其可以被数整除的情况可以求出其是否为0,

如果（a,p）=1,(b,p) = 1,

则：(a/b)≡x(mod p);

==>a≡b*x(mod p);

令 a` = a%p; b` = b%p;

则：a`≡b`*x(mod p)

==>b`*x+k*p = a` (p为素数，gcd(b`,p)=1,方程一定有解)

应用拓展欧几里得解得x的最小正整数解即为结果。

#include
#include
#include
using namespace std;

__int64  exgcd(__int64  a,__int64  b,__int64 &x,__int64 &y)
{
    __int64  d,t;
 if(b==0)
 {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
 }
    d = exgcd(b,a%b,x,y);
    t = x;
    x = y;
     y = t-a/b*y;
     return d;
}



__int64  mod(__int64 a,__int64 b,__int64 p,__int64 &count)
{
    __int64 res=1;
    __int64 t,i;
    for(i=a;i<=b;i++)
    {
        if(i%p==0)
        {

            t=i;
            while(t%p==0)
            {

                t=t/p;
                count++;
            }
            res=(res*t)%p;
        }
        else
        {

            res=(res*i)%p;
        }
    }
    return res;

}
int main()
{
    int T;
    long long n,m,p,a,b,x,y,num1,num2;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p);
        num1=num2=0;
        b=mod(1,m,p,num1);
        a=mod(n-m+1,n,p,num2);
        if(num2>num1)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        exgcd(b,p,x,y);
        x=x*a;
        x=x%p;
        if(x<0)
        x=x+p;
        printf("%I64d\n",x);
    }
    return 0;
}