欧几里得算法gcd(辗转相除法)

摘自百度百科描述:

       辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

a=q*b+r;  都为整数               gcd(a,b)=gcd(b,r);

gcd(a,b)=gcd(b, a mod b );

123456 和 7890 的最大公因数是 6，这可由下列步骤（其中，“a mod b”是指取 a ÷ b 的余数）看出：

 

a	b	a mod b
123456	7890	5106
7890	5106	2784
5106	2784	2322
2784	2322	462
2322	462	12
462	12	6
12	6	0

递归算法代码:

ll gcd(ll a,ll b){ return b==0?a:gcd(b,a%b); }

循环算法代码:

ll gcd(ll a,ll b) {while(b^=a^=b^=a%=b);return a;}

n个数的最大公约数,最小公倍数:

求最小公倍数注意0的情况,gcd(x,y)可能为0.

1~n求gcd,gcd(a,b,c,d)=gcd(a,gcd(b,gcd(c,d)));

1~n求lcm,lcm(a,b,c,d)=lcm(a,lcm(b,lcm(c,d)));

1.Neko does Maths

题意:

给两个数a与b,两个数同时加上k,使得他们的最小公倍数最小

求最小的lcm(a+k,b+k),(1≤a,b≤1091≤a,b≤109). (k≥0k≥0)

解析:

求最小的lcm(a+k,b+k)即求最大的gcd(a+k,b+k)

,假设b>a,gcd(a,b)=gcd(a,b-a)

(a+k)*(b+k)/gcd(a+k,b-a),b-a已知,枚举b-a的因子,即可求得答案

(a+k)%i==0,(a%i+k%i)==(1||0),=>   k=(i-a%i)%i

ac:

#include
#define ll long long
using namespace std;
vector vc;
 
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
 
ll lcm(ll a,ll b)
{
    return a*(b/gcd(a,b));
}
 
int main()
{
    ll a,b;
    cin>>a>>b;
    if(a>b)
        swap(a,b);
    ll c=b-a;
    for(ll i=1;i*i<=c;i++)
    {
        if(c%i==0)
        {
            vc.push_back(i);
            vc.push_back(c/i);
        }
    }
    ll ans=1e18,qq=0;
    for(ll i=0;i

LCM:

a与b的最小公倍数=a*b/(gcd(a,b))
先求出最大公约数在求最小公倍数

2.Minimum Possible LCM

题意:

给定n个数,选择两个数,使得他们的lcm最小

解析:

lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b),最小的lcm,一定是有公共因子的

枚举1~max因子,最小的lcm一定是有该因子的最小的呢两个数

总复杂度为O(n*logn),注意可能存在两个相同的数,要特殊判断

ac:

#include
#define ll long long
#define MAXN 10000005
using namespace std;
int a[MAXN],pos[MAXN];

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

int main()
{
    int n,x,aa=0,bb=0,maxn=0;
    ll maxs=99999999999999;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        a[x]++;
        if(a[x]>1&&xbb)
        swap(aa,bb);
    printf("%d %d\n",aa,bb);
    return 0;
}

http://codeforces.com/contest/892/problem/C

题意:

一个数组,数组中可以相邻两个的求gcd,然后赋给任意一个,

求最快把数组中所以都变成1的步数

如果变不出,输出-1

解析:

如果所有的数的最大公约数gcd(a1,a2,a3,a4,......)不是1,呢么不论怎么变换,都只能变换成总gcd,出现无解

如果a1~an中存在一个1,呢么ans=n-sum(1)

gcd(a1,a2,a3,a4,....)=先求a1和a2gcd,赋给a2,再求a2和a3的gcd,赋给a3,类推

gcd(a,b,c,d)=gcd(gcd(gcd(a,b),c),d)

ac:

#include
#define MAXN 2005
#define ll long long
using namespace std;//先变一个1出来
 
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
 
int a[MAXN]={0};
 
int main()
{
    int n,ans=999999,sum=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        if(a[i]!=1)
            sum++;
    }
    if(sum!=n)
    {
        printf("%d\n",sum);
    }
    else{
        for(int i=1;i=2000)
            printf("-1\n");
        else printf("%d\n",ans+n-1);
    }
    return 0;
}

水题:数学

解析:求公共约数,先求最大公约数x,然后遍历sqrt(x),得因子,再去重

 

贝祖等式:

对于不全为0的整数a,b,和d,方程s*a+t*b=d存在整数解s和t当且仅当gcd(a,b)|d

s*a+t*b=d称为贝祖等式

同余:

如果 n|(a-b), 则a与b模n同余,记作a≡b( mod n ),   n称为模

a≡b( mod n ),c≡b( mod n ),则a +(-) c=b +(-) c (mod n),a*c=b*d(mod n)

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黑妹最近在玩一个有趣的游戏，游戏规则是这样的：
刚开始黑板上有三个不同的初始数字，然后黑妹每一次可以选择黑板上的两个不同的数字，然后计算出这两个不同数字之差的绝对值，如果黑板上没有这个数字，那么就把这个新数字写在黑板上。
黑妹已经玩腻了这个游戏，现在黑妹想知道她最多能添加多少个数字。

输入描述:

第一行一个整数T表示数据组数。(1≤T≤100000)
接下来T行每行三个整数 a，b，c 表示黑板上的三个初始数字。()

输出描述:

对于每组数据输出一行表示答案。

AC:

#include
#include
#include
using namespace std;
int gcd(long long a,long long b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

int main()
{
   int n;
   long long a,b,c,d;
   scanf("%lld",&n);
   while(n--)
   {
       scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
       d=gcd(a,gcd(b,c));
       a/=d;
       b/=d;
       c/=d;
       printf("%lld\n",max(max(a,b),c)-3);
   }
   return 0;
}