欧拉函数的性质及其证明

欧拉函数

• $p$是素数，则有$\varphi (p)=p-1$

  证明：显然。

• $p$是素数，$n=p^k$，则$\varphi (n)=p^k-p^{k-1}$

  证明：

  $[1,n]$内，$p$的约数有$p,2p,3p,4p\dots \dots (p^{k-1}-1)p$个，所以$\varphi (n)=p^k-1-(p^{k-1}-1)=p^k-p^{k-1}$

• $p,q$是素数，$\varphi (pq)=\varphi (p)\ast \varphi (q)$

  证明：

  $pq-1$内是$p$的倍数的有$q-1$个，是$q$的倍数的有$p-1$个，$\varphi (pq)=pq-1-(q-1)-(p-1)=pq-p-q-1=(p-1)(q-1)=\varphi (p)\varphi (q)$

  拓展$p,q$互质即可满足条件。

• $a\%p==0,p是质数$，则$\varphi (ap)=\varphi (a)p$

  证明：

  一定有$a=k{p}^n$，$k,p$互质，

  $\therefore \varphi (a)=\varphi (k)\varphi (p^n)$

  $\therefore \varphi (k)=\frac{\varphi (a)}{\varphi (a^n)}$

  $\because ap=k{p}^{n+1}$

  $\therefore \varphi (ap)=\varphi (k)\varphi (p^{n+1})$

  $\therefore \varphi (ap)=\varphi (a)\frac{\varphi (p^{n+1})}{\varphi (p^n)}$

  $\because \varphi (p^{n+1})=p^{n+1}-p^n,\varphi (p^n)=p^n-p^{n-1}$

  $\therefore \varphi (ap)=\varphi (a)\frac{\varphi (p^{n+1})}{\varphi (p^n)}=\varphi (a)\frac{p^{n+1}-p^n}{p^n-p^{n-1}}$

  $\therefore \varphi (ap)=\varphi (a)p$

• $n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\dots \dots p_n^{a_n}$则，$\varphi (n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots \dots \frac{1}{p_n}$

  证明：

  $\because \varphi (n)=\varphi (p_1^{a_1})\varphi (p_2^{a_2})\dots \dots \varphi (p_n^{a_n})$

  $\therefore \varphi (n)=(p_1^{a_1}-p_1^{a_1-1})(p_2^{a_2}-p_2^{a_2-1})\dots \dots (p_n^{a_n}-p_n^{a_n-1})$

  每个括号里提出一个$p_i^{a_i}$得$\varphi (n)=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\dots \dots p_n^{a_n}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots \dots \frac{1}{p_n}$

  即证得：$\varphi (n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots \dots \frac{1}{p_n}$

• 关于欧拉函数得递推求法

  显然可以在欧拉素数筛的同时得到欧拉函数值

  $prime[j]\mid i$时，有$\varphi (i\ast prime[j])=\varphi (i)\ast prime[j]$

  其次就是两个互质的情况了

  $\varphi (i\ast prime[j])=\varphi (i)\ast (prime[j]-1)$

  再最后就是$i$为质数的情况了，$\varphi (i)=i-1$

• $n$的所有约数的欧拉函数之和等于$n$

  证明：

• 对于给定$n$，${\sum }_{i=1}^{n-1}i(gcd(i,n)==1)=\frac{n\varphi n}{2}$

  证明：

  显然$gcd(i,n)=1$，则有$gcd(n-i,n)=1$，所以互质数两两存在则有上面式子${\sum }_{i=1}^{n-1}i(gcd(i,n)==1)=\frac{n\varphi n}{2}$成立。

• $d=gcd(a,b)$，$\varphi (ab)=\frac{\varphi (a)\varphi (b)d}{\varphi (d)}$

  证明：