图论学习笔记——Dijkstra(广度优先)

1.Dijkstra(广度优先)

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述

算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。

MATLAB实验代码

function [d index1 index2]=Dijkf(a)
M=max(max(a));
pb(1:length(a))=0;
pb(1)=1;
index1=1;
index2=ones(1,length(a));
d(1:length(a))=M;
d(1)=0;
temp=1;
while sum(pb)<length(a)
    tb=find(pb==0);
d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));
    tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));
    temp=tb(tmpb(1));
    pb(temp)=1;
    index1=[index1,temp];
index=index1(find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1)));
if length(index)>=2
        index=index(1);
    end
    index2(temp)=index;
end
d;
index1;
index2;
 

d表示起点A到各个顶点之间的最段距离，以邻接矩阵的顶点的顺序算

index1最短距离的顺序

Index2索引

比如A到D的距离
A B C D E F G
2 3 4 5 6 7
D前面经过5，也就是E，E前面是6，也就是F，F前面是1，也就是A
A-F-E-D
求任意两点之间的最短距离的实验代码

function D=shortdf(W)
n=length(W);
D=W;
m=1;
while m<=n
    for i=1:n
    for j=1:n
        if D(i,j)>D(i,m)+D(m,j)
            D(i,j)=D(i,m)+D(m,j);
        end
    end
end
m=m+1;
end
D;