【证明】欧拉定理及广义欧拉定理
网上现在讲欧拉定理证明的文章好少啊，于是博主就在学习之后萌发了写一篇证明的想法，供大家参考。其实主要是自己找资料找得太辛苦，想为后来人节约一点时间罢了。
欧拉函数：
记为 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n)或 φ ( n ) \varphi(n) φ(n)，程序中一般写作 p h i [ n ] phi[n] phi[n]，读法为 f a i fai fai，表示小于 n n n且与 n n n互质的数的个数。形式化一点的描述为 ϕ ( n ) = ∑ i = 1 n [ g c d ( i , n ) = = 1 ] \phi(n)=\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)==1] ϕ(n)=i=1∑n[gcd(i,n)==1]
其中 [ ] [] []符号表示若其中表达式为真，则这一项的值为1，否则为0。
不过这个符号 φ \varphi φ更多用作推式子时候的变量而不是函数名
欧拉定理：
一般的欧拉定理叙述为：对于 ∀ a , m \forall a,m ∀a,m，若 g c d ( a , m ) = 1 gcd(a,m)=1 gcd(a,m)=1，则 ∀ n , a n ≡ a n m o d ϕ ( m ) ( m o d m ) \forall n,a^n\equiv a^{n\mod \phi(m)}(mod\text{ }m) ∀n,an≡anmodϕ(m)(mod m)
证明：
将 1 1 1至 m m m中所有与 m m m互质的数列出，记为 x 1 , x 2 . . . x ϕ ( m ) x_1,x_2...x_{\phi(m)} x1,x2...xϕ(m)。
每一项乘上 a a a，形成的数列是 a x 1 , a x 2 . . . a x ϕ ( m ) ax_1,ax_2...ax_{\phi(m)} ax1,ax2...axϕ(m)。
可以证明，在模 m m m意义下，这两个数列是等价的，即它们可以构成一一对应，因为 g c d ( a , m ) = = 1 gcd(a,m)==1 gcd(a,m)==1。（证明很简单，这里就不详讲了）
那么我们将两个数列分别相乘，得到 ∏ i = 1 ϕ ( m ) x i ≡ ∏ i = 1 ϕ ( m ) a x i ( m o d m ) \prod_{i=1}^{\phi(m)}x_i\equiv \prod_{i=1}^{\phi(m)}ax_i(mod\text{ }m) i=1∏ϕ(m)xi≡i=1∏ϕ(m)axi(mod m)
即 ∏ i = 1 ϕ ( m ) x i ≡ a ϕ ( m ) ∏ i = 1 ϕ ( m ) x i ( m o d m ) \prod_{i=1}^{\phi(m)}x_i\equiv a^{\phi(m)}\prod_{i=1}^{\phi(m)}x_i(mod\text{ }m) i=1∏ϕ(m)xi≡aϕ(m)i=1∏ϕ(m)xi(mod m)
那么就有 a ϕ ( m ) ≡ 1 ( m o d m ) a^{\phi(m)}\equiv 1(mod \text{ }m) aϕ(m)≡1(mod m)
得证。
广义欧拉定理：
广义欧拉定理的叙述为：对于 ∀ a , m \forall a,m ∀a,m，若 g c d ( a , m ) ≠ 1 gcd(a,m)\ne 1 gcd(a,m)̸=1，则有 a n ≡ a n m o d ϕ ( m ) ( m o d m ) , ( n < ϕ ( m ) ) a^n\equiv a^{n\text{ }mod\text{ }\phi(m)}(mod\text{ }m), (n<\phi(m)) an≡an mod ϕ(m)(mod m),(n<ϕ(m)) a n ≡ a n m o d ϕ ( m ) + ϕ ( m ) ( m o d m ) , ( o t h e r w i s e ) a^n\equiv a^{n\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m), (otherwise) an≡an mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m),(otherwise)
我必须承认，第一句是废话，但是定理的叙述里面一直都有这句，本着严谨的态度，我还是把它搬上来了。。。（我自己都觉得无语）。
其实思维敏锐的读者也会发现，欧拉定理也满足广义欧拉定理，所以 g c d ( a , m ) ≠ 1 gcd(a,m)\ne 1 gcd(a,m)̸=1这个条件也可以去掉。
接下来我们试着证明一下第二条。 a n ≡ a n m o d ϕ ( m ) + ϕ ( m ) ( m o d m ) a^n\equiv a^{n\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m) an≡an mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
为了方便叙述，我们给几个定理及定义：
将 a a a的0次，1次，…， b b b次幂模 m m m的结果排成一个序列，前 r r r个数( a 0 a^0 a0到 a r − 1 a^{r-1} ar−1)互不相同，从第 r r r个数开始，每 s s s个数就循环一次。
可以用鸽巢原理证明，这样的 r r r和 s s s总是存在的。
我们称 r r r为a的幂次模 m m m的循环起始点， s s s为循环长度。注意 r r r可能为0，但 s s s一定不为0。
开始证明：
1.当 a a a为素数。
显然 m = a r m ′ m=a^rm' m=arm′，则 g c d ( a , m ′ ) = 1 gcd(a,m')=1 gcd(a,m′)=1，所以我们有 a ϕ ( m ′ ) ≡ 1 ( m o d m ′ ) a^{\phi(m')}\equiv1(mod\text{ }m') aϕ(m′)≡1(mod m′)又由于 g c d ( a r , m ′ ) = 1 gcd(a^r,m')=1 gcd(ar,m′)=1，所以 ϕ ( m ′ ) ∣ ϕ ( m ) \phi(m')|\phi(m) ϕ(m′)∣ϕ(m)，所以 a ϕ ( m ) ≡ 1 ( m o d m ′ ) a^{\phi(m)}\equiv1(mod\text{ }m') aϕ(m)≡1(mod m′)
即 a ϕ ( m ) = k m ′ + 1 a^{\phi(m)}=km'+1 aϕ(m)=km′+1两边同时乘以 a r a^r ar，得 a r + ϕ ( m ) = k m + a r , b e c a u s e m = a r m ′ a^{r+\phi(m)}=km+a^r,because\text{ }m=a^rm' ar+ϕ(m)=km+ar,because m=arm′
所以 a r ≡ a r + s ( m o d m ) a^r≡a^{r+s}(mod\text{ }m) ar≡ar+s(mod m)，这里 s = ϕ ( m ) s=\phi(m) s=ϕ(m)，其实到这里证明已经快要接近尾声了，有兴趣的读者可以自己手推一下。
又由于 m = a r m ′ m=a^rm' m=arm′，所以 ϕ ( m ) ≥ ϕ ( p r ) = p r − 1 ( p − 1 ) ≥ r \phi(m)\ge\phi(p^r)=p^{r-1}(p-1)\ge r ϕ(m)≥ϕ(pr)=pr−1(p−1)≥r
所以 a r ≡ a r + ϕ ( m ) ≡ a r m o d ϕ ( m ) + ϕ ( m ) ( m o d m ) a^r\equiv a^{r+\phi(m)}\equiv a^{r\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m) ar≡ar+ϕ(m)≡ar mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
所以 a b ≡ a r + ( b − r ) m o d ϕ ( m ) a^b\equiv a^{r+(b-r)\text{ }mod\text{ }\phi(m)} ab≡ar+(b−r) mod ϕ(m) ≡ a r m o d ϕ ( m ) + ϕ ( m ) + ( b − r ) m o d ϕ ( m ) \equiv a^{r\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)+(b-r)\text{ }mod\text{ }\phi(m)} ≡ar mod ϕ(m)+ϕ(m)+(b−r) mod ϕ(m) ≡ a ϕ ( m ) + b m o d ϕ ( m ) ( m o d m ) \equiv a^{\phi(m)+b\text{ }mod\text{ }\phi(m)}(mod\text{ }m) ≡aϕ(m)+b mod ϕ(m)(mod m)
即 a b ≡ a b m o d ϕ ( m ) + ϕ ( m ) ( m o d m ) a^b≡a^{b\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m) ab≡ab mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
第一情况得证。
这种情况证明出来了，马上我们的证明就要完成了。
2. a a a是质数 p p p的整数次幂
令 a = p k a=p^k a=pk。
显然仍然有 a r ′ ≡ a r ′ + s ′ ( m o d m ) a^{r'} \equiv a^{r'+s'}(mod\text{ }m) ar′≡ar′+s′(mod m)其中 s ′ = ϕ ( m ) s'=\phi(m) s′=ϕ(m)。
由于对于质数我们有 p r ≡ p r + s ( m o d m ) p^r \equiv p^{r+s}(mod\text{ }m) pr≡pr+s(mod m)而将 m m m中的质因子 p p p除去后的 m ′ m' m′，我们有 p s ≡ 1 ( m o d m ′ ) p^s\equiv1 (mod\text{ }m') ps≡1(mod m′)。所以 p s ∗ k / g c d ( s , k ) ≡ 1 ( m o d m ′ ) p^{s*k/gcd(s,k)}\equiv 1(mod\text{ }m') ps∗k/gcd(s,k)≡1(mod m′)。
当 p s ′ k ≡ 1 ( m o d m ′ ) p^{s'k}≡1(mod\text{ }m') ps′k≡1(mod m′)时，我们有 s ′ = s / g c d ( s , k ) s'=s/gcd(s,k) s′=s/gcd(s,k)。
此时 s ′ ∣ s ∣ ϕ ( m ) s'|s|\phi(m) s′∣s∣ϕ(m)，且 r ′ = ⌈ r k ⌉ ≤ r ≤ ϕ ( m ) r'=\lceil \frac{r}{k}\rceil\le r\le\phi(m) r′=⌈kr⌉≤r≤ϕ(m)。
由 r ′ , s ′ r',s' r′,s′与 ϕ ( m ) \phi(m) ϕ(m)的关系，依然可以得到 a b ≡ a b m o d ϕ ( m ) + ϕ ( m ) ( m o d m ) a^b≡a^{b\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m) ab≡ab mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
3. a a a是合数
考虑 a a a是 t t t个素数的整数次幂的积的情况。
设 a = ∏ i = 1 t a=\prod_{i=1}^{t} a=∏i=1t， a i = p i k i a_i=p_i^{k_i} ai=piki， a i a_i ai在模 m m m意义下的循环节长度为 s i s_i si
则 a a a的循环长度 s s s必有 s ∣ l c m ( s i ) s|lcm(s_i) s∣lcm(si)，而 s i ∣ ϕ ( m ) s_i|\phi(m) si∣ϕ(m)，所以 l c m ( s i ) ∣ ϕ ( m ) lcm(s_i)|\phi(m) lcm(si)∣ϕ(m)，所以 s ∣ ϕ ( m ) s|\phi(m) s∣ϕ(m)
并且我们可以推出 a a a在循环前的长度 r = m a x ⌈ r i k i ⌉ ≤ m a x { r i } ≤ ϕ ( m ) r=max{\lceil \frac{r_i}{k_i}\rceil}\leq max\{r_i\}\leq\phi(m) r=max⌈kiri⌉≤max{ri}≤ϕ(m)。
所以，当 a a a是合数时，我们仍然有 a b ≡ a b m o d ϕ ( m ) + ϕ ( m ) ( m o d m ) a^b≡a^{b\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m) ab≡ab mod ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
广义欧拉定理得证
以上就是关于欧拉定理内容及证明的叙述，欧拉函数的更多性质我会写在积性函数的总结里面。