《计算机组成原理》----2.7 浮点运算

本节书摘来自华章出版社《计算机组成原理》一书中的第2章，第2.7节， 作 者 Computer Organization and Architecture: Themes and Variations［英］艾伦·克莱门茨（Alan Clements）　著，沈　立　王苏峰　肖晓强 译， 更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。

2.7　浮点运算

浮点数不能直接相加。下面以一个简单的8位尾数和一个未对齐的指数为例说明浮点运算，A = 1.0101001×24，B = 1.1001100×23。若要计算这两个数的乘积，应将尾数相乘，指数相加；即
A·B = 1.0101001×24×1.1001100×23

 = 1.0101001×1.1001100×23+4

= 1.000011010101100×28.

现在来看看浮点加法。笔算时人们会像下面那样自动地将A与B的小数点对齐，
10101.001

• 1100.1100
  100001.1110

然而，由于浮点操作数已经被表示为规格化形式，计算机在进行浮点加法时面临以下问题：
1.0101001×24
+1.1001100×23

为了对齐指数，计算机必须执行下面的步骤：

第1步，找出指数较小的那个数。
第2步，使两个数的指数相同。对于指数小的那个数，指数加几，就将尾数右移几位。
第3步，尾数相加（或相减）。
第4步，如果有必要，将结果规格化（后规格化）。

在这个例子里，A = 1.0101001×24且B = 1.1001100×23。B的指数比A的小，应将B的指数加1，使它与A的指数相等。由于指数加1会使B的值增加2倍，应将B的尾数除2，即将其右移1位。这两个操作使B的值保持不变，但被表示为0.110011×24。现在就可以将A与非规格化的B相加了。
A = 1.0101001×24
B = + 0.1100110×24

 10.0001111×24

加法的结果不是规格化数，因为它的整数部分是102。因此需要对结果作规格化处理。尾数右移1位并将指数加1，得到1.00001111×25。结果的位数的精度为小数点后有8位数字，而A和B的尾数在小数点后只有7位数字。

图2-10给出了浮点加法运算的流程。对于这个流程图，以下几点需要注意。
1）因为指数有时与尾数位于同一个字中，在加法过程开始之前必须将它们分离开（解压缩）。

2）如果两个指数的差大于p+1，这里p为尾数的位数，较小的那个数由于太小而无法影响较大的数，结果实际上就等于较大的那个数。例如，1.1010×260+1.01×2-12的结果为1.1010×260，因为指数之差为72。

3）结果规格化时会检查指数，看它是否比最小指数小或比最大指数大，以分别检测指数下溢或上溢。指数下溢会导致结果为0，而指数上溢会造成错误，可能会要求操作系统介入处理。

舍入和截断误差
因为浮点运算可能引起尾数位数的增加，因此需要能够保持尾数位数不变的方法。最简单的技术叫作截断（truncation）。例如，将0.1101101截断为4位尾数的结果为0.1101。截断会产生诱导误差（induced error）（即误差是由施加在数上的操作计算所引起的），诱导误差是偏置的，因为截断后的数总是比截断前的小。

舍入（rounding）是一种更好的减少数的位数的技术。如果丢弃的位的值大于剩余数最低位的一半，则将剩余数的最低位加1。请考虑下面两个数在小数点后第4位上舍入的例子。

0.1101011 → 0.1101 删去的三位为011，什么也不做
0.1101101 → 0.1101+1 = 0.1110 删去的三位为101，因此加1
与截断相比，人们更青睐舍入，因为它更加精确并会引起非偏置的误差。截断总会使结果变小，带来系统性误差，而舍入有时会使结果减小，有时会使结果增大。舍入的主要不足在于它需要对结果进行一个额外的算术操作。

图2-11描述舍入机制。最简单的舍入机制是截断或向0舍入。“向最近的数舍入”方法，会选择距离该数最近的那个浮点数作为结果。“向正或负无穷大舍入”方法，会选择正或负无穷大方向上最近的有效浮点数作为结果。当要舍入的数位于两个连续浮点数的正中时，IEEE舍入机制会选择最低位为0的点（即向偶数舍入）。

具体实现时，浮点数使用3个专用位辅助完成舍入过程。一个m位的尾数可表示为1.m1m2…mmGRS，这里G为保护位（guard bit），用于暂时提高浮点数的精度；R为舍入位（rounding bit）；用于辅助完成舍入，S为粘位（sticky bit）。粘位是R位右侧的所有位进行逻辑与运算后的结果，之所以这样称呼是因为一旦该位被置位（表明右边有一个或多个位为1）它就将保持为1。舍入算法根据以上3位确定舍入位的值。