矩阵的谱（半径）及其性质

矩阵的谱或叫矩阵的谱半径，在特征值估计、广义逆矩阵、数值分析以及数值代数等理论的建树中，都占有极其重要的地位；

矩阵 A∈Cn×n 的谱（半径） ρ(A) 定义为：

ρ(A)=max1≤i≤n|λi|

也即矩阵的谱为矩阵的特征值的模的最大值；

关于矩阵的谱（半径）的一个重要性质即是：任意复数域上的矩阵的谱半径不大于其任意一种诱导范数（请问，该性质可以用来干嘛，用来对谱半径进行近似估计）。

也即，设 A∈Cn×n ，且其特征值是 λi,i=1,2…,n ，对 Cn×n 上任意一种矩阵非范数 ∥A∥ ，都有 ρ(A)=max1≤i≤n|λi|≤∥A∥ ，即 A 的谱半径是 A 的任意一种范数的下界；

先作如下证明：
设 λ 是 A 的任意一个特征值， x≠0⃗  是对应的特征向量。构造 n 阶矩阵 M=(x,0⃗ ,…,0⃗ )≠0⃗  ，由于 Ax=λx ，则 AM=λM ，根据矩阵范数三角不等式有：

|λ|∥M∥=∥AM∥≤∥A∥∥M∥

而 ∥M∥>0 （矩阵范数为标量），则有 |λ|<∥A∥ ，自然 ρ(A)≤∥A∥ 。