逻辑学学习.12 --- 谓词逻辑（四）：解释

前面讨论了一般命题的符号化，如果拿到一个符号化的命题，需要对它进行解释，就是符号化的逆过程。比如 F（a），F（a）命题的真假取决于对它的解释。F 是谓词，a是谓词常项，如果 “F（x）” 解释为 “x 是人”，“a” 解释为“孔子”，那么 F（a） 就是一个真命题。如果 F（x）同样解释为 “x是人” a 解释为 “黄鹤楼”，那么 F（a）就是一个假命题。

一。解释

对一般命题解释的方法：
a。规定一个非空论域 UD;
b。给每一个谓词常项指定一个属性。
c。给每一个个体常项指定论域中的一个成员。
d。给每一个命题常项指定一个真值。

例1） 考虑命题 ∃x R（x，b）∧ B 的解释。

[解释1]
UD：{江河}
R（x，b） ： x 比 b 长
b： 黄河
B： T （即 ：真）

那么 ∃x R（x，b） 的意思就是“ 有些江河比黄河长 ”，该命题是真的。 ∃x R（x，b）∧ B 两个合取支都是真的。故整个命题是真的。

假如把 b 解释为“长城”，那么 ∃x R（x，b） 的解释就是“ 有些江河比 长城长”，这是错误的，因为 b 是个体常项，它的取值必须在论域之内。

[解释2]
UD：{山峰}
R（x，b） ： x 比 b 高
b： 珠穆朗玛峰
B： T （即 ：真）

那么 ∃x R（x，b） 的解释就是“ 有些山峰比珠穆朗玛峰高 ”，这显然不是事实。 ∃x R（x，b）∧ B 两个合取支前面一个是假的，故整个命题是假的。

例2） 考虑命题 ∀x （ J（x） ↔ K（x）） 的解释。

[解释1]
UD：{ 正整数 }
J（x） ： x 是偶数
K（x）： x被2整除

那么 ∀x 量词之后的开语句（ J（x） ↔ K（x）） 的解释 就是“ x是偶数 ，当且仅当x能被2整除 ”，∀x 表示论域中的所有成员满足该条件。
∀x （ J（x） ↔ K（x）） 合起来解释就是：对所有的正整数x，x是偶数的条件，当且仅当x能被2整除。这个命题是真的。

我们再给另外一个解释：
[解释2]
UD：{ 正整数 }
J（x） ： x 是偶数
K（x）： x被4整除

∀x （ J（x） ↔ K（x）） 合起来解释就是：对所有的正整数x，x是偶数的条件，当且仅当x能被4整除。由数学知识我们得知，这个命题是假的。例如，x=6时，不满足。

例3） 考虑命题 ∃y （ H（y，b）∧ R（y，y）） 的解释。

[解释1]
UD：{ 人 }
H（y，b） ： y 是b的学生
R（y，y） ： y 认识y
b： 柏拉图

开语句（ H（y，b）∧ R（y，y））的解释是：y是柏拉图的学生并且y认识他自己。
∃y （ H（y，b）∧ R（y，y）） 合起来的解释就是：至少存在一个人，他是柏拉图的学生并且他认识他自己。我们知道，亚里士多德满足这个条件。
因此 存在命题 ∃y （ H（y，b）∧ R（y，y）） 相对于[解释1] 是真的。

[解释2]
UD：{ 正整数 }
H（y，b） ： y 大于b
R（y，y） ： y 大于 y
b： 1

开语句（ H（y，b）∧ R（y，y））的解释是：y大于1 并且y大于他自己。
∃y （ H（y，b）∧ R（y，y）） 合起来的解释就是：至少存在一个正整数，它大于1并且它大于它自己。我们知道，在{ 正整数中} 没有一个数它大于它自己 。
因此 存在命题 ∃y （ H（y，b）∧ R（y，y）） 相对于[解释2] 是假的。

例4） 同时考虑命题 ∀x ∃y R（x，y） 和 ∃y ∀x R（x，y） 的解释。

[解释1]
UD：{ 正整数 }
R（x，y） ： x 等于y

∀x ∃y R（x，y）的解释为：” 对所有的正整数x，至少有一个y使得，x等于y “。这是一个真命题。

∃y ∀x R（x，y）的解释为：“至少有一个正整数y使得， 对所有正整数x，x等于y “。这是假命题。

[解释2]
UD：{ 1 }
R（x，y） ： x 等于y

∀x ∃y R（x，y）的解释为：” 对所有的论域（集合）{1}内的元素，至少有一个y使得，x等于y “。论域（集合）{1} 只有一个元素，那么 y =1 ，x = 1。所有命题为真。

∃y ∀x R（x，y）的解释为：“至少有一个论域{1} 内的元素 y使得， 对所有论域{1} 的元素 x，x等于y “。 因为论域{1 }只有一个元素， y只能等于1，x也只能等于1。所以，该命题相对于 [解释2] 是真的。

二。普遍有效式和不可满足式

有很多的命题，对有些解释是真的，对有些解释是假的。但是有些命题，所有的（任何）解释都是真的，有些命题，所有的（任何）解释都是假的。

普遍有效式，当且仅当，该命题对所有（每一个）解释都是真的。
不可满足式，当且仅当，该命题对所有（每一个）解释都是假的。

有些解释是真，有些解释是假的命题，叫做偶然式，偶然式又叫做可满足式和非普遍有效式。

例5） ∃x （ L（x） ∨ ¬ L（x））的解释。

L（x） 和 ¬ L（x） 肯定有一个是真的，相应的另一个是假的，它们的析取也是真的。该公式对于任何解释都是真的。

例6） ∀y J（y） ∧ ∃x ¬ J（y）的解释。

我们知道， ∀y J（y） 和 ∃x ¬ J（y）是矛盾关系，肯定有一个是假的，相应的另一个是真的，所以它的的合取是假。 该公式对于任何解释都是假的。

例7） ∀x （M（x）→ ∃y H（x，y）） 的解释。

[解释1]
UD：{ 正整数 }
H（x，y） ： x 小于y
M（x） ： x 等于1

∀x （M（x）→ ∃y H（x，y））对于[解释1 ] 的解释是：”对所有的正整数x，如果x等于1，那么x小于有些正整数y“。这个解释是真的。所有该命题是一个可满足式。

[解释2]
UD：{ 正整数 }
H（x，y） ： x 大于y
M（x） ： x 等于1

∀x （M（x）→ ∃y H（x，y））对于[解释2] 的解释是：”对所有的正整数x，如果x等于1，那么x大于有些正整数y“。这个解释是假的，因为x是最小的正整数。所有该命题是一个非普遍有效式。

三。逻辑等值和逻辑蕴含

在前面的命题逻辑中，我们曾经定义了“重言等值”和“重言蕴含”。
重言等值就是说，在所有的真值指派下，P ↔ Q都是 T，也叫真值函项地等值。
重言蕴含就是说，在所有的真值指派下，P → Q都是 T，也叫真值函项地蕴含。
但是在命题逻辑中，命题P和Q只含有命题常项和真值函项联结词。
那么在谓词逻辑中，与之相对应的概念分别是逻辑等值和逻辑蕴含。

并且重言等值和重言蕴含分别是逻辑等值和逻辑蕴含的特殊情形。

逻辑等值：命题P和Q是逻辑等值的，当且仅当，P ↔ Q 是一个普遍有效式。

例8） ∀x（A（x）→ B（x）） 和 ∀x（¬ A（x）∨ B（x）） 是逻辑等值的。

我们在命题逻辑学过，推演规则之：蕴含转为析取
( P → Q ) 等值于 ( ¬ P ∨ Q )
用 A（x）代替P ，用 假设用 B（x）代替 Q，
（A（x）→ B（x）） 等值于 （¬ A（x）∨ B（x））
再同样加上量词
∀x（A（x）→ B（x）） 等值于 ∀x（¬ A（x）∨ B（x））

逻辑蕴含：P逻辑蕴含Q逻辑，当且仅当，相对于每一个解释，并非P真而 Q 假 。
P逻辑蕴含Q逻辑，当且仅当，P → Q 是一个普遍有效式 。

也就是说，要证明 P 蕴含 Q，即 （ P → Q ），只要证明 P 为真时，不可能 Q 为假即可。

回忆一下蕴含式的真值函项表：”并非P真而 Q 假“。
逻辑学学习.5— 命题逻辑（三）：真值 表

蕴含式 P →Q 的真值表

P	Q	P→Q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

可见，蕴含式 A→B 只有在前提真而结论假的情况下才为假。只要证明”并非P真而 Q 假“，P蕴含Q就是成立的。

例9） F（a） 逻辑蕴含 ∃x F（x） 。

解释 ，如果 F（a） 为真，论域中至少有一个成员 a 满足开语句 F（x），这样就证明了∃x F（x）对于 x=a 时为真。这样就是 “并非P真而 Q 假”。

如果 F（a） 为假，∃x F（x）的逻辑无论真假， 这样也算是 “并非P真而 Q 假”。
综上两种情况，满足“相对于每一个解释，并非 F（a）真而 ∃x F（x） 假”。

四。谓词推论的解释及其有效性

我们知道，推论是由命题所组成的，因此，对一个谓词推论作解释就是对相应的一组命题做解释。即：对这组命题规定一个共同的论域，并对其中的每一个谓词常项，个体常项和命题常项作出统一解释。谓词推论有效性的定义：

谓词推论有效性的定义：一个谓词推论是有效的，当且仅当，它相对于每一个解释并非所有前提真而结论假。

由于对一个谓词推论的解释是无数多的，因此，我们不可能通过构造解释的方法来证明一个谓词推论是有效的。

我们只能够通过构造解释的方法证明一个谓词推论是无效的。只需要给出一个“所有前提为真而结论为假”的解释，就证明了一个谓词推论是无效的，这叫做“构造反例的方法”。

例10） 证明下面[推论10]是无效的。
[推论10]
∃x I（x）
∃x J（x）
∴ ∃x（I（x）∧ J（x））

分析：为了证明上述推论是无效的，只需要给出一个反例解释即可。
[解释1]
UD: {人}
I（x）： x是幼儿
J（x）： x是老头

相对于[解释1] ，[推论10] 读做：
有人是幼儿，
有人是老头，
所以，有人是幼儿并且是老头。

很显然，[解释1] 的前提都是真的，而结论是假的。这就是一个反例。所以，[推论10] 不成立。

例11） 证明下面[推论11]是无效的。
[推论11]
所有吸毒者是短命的；
所有吸鸦片者是吸毒者；
所以，有些吸鸦片者是短命的。

[推论11] 是一个基本三段论，可以用三段论的方法（文恩图）来证明它是无效的。这里，我们用谓词逻辑的方法来证明它是无效的。谓词推论无效性的证明，只需要构造一个反例。

构造一个解释，我们先进行符号化：

谓词和常项：
UD： {人}
D（x） 表示 ：x是吸毒者
M（x） 表示 ：x是短命的
Y（x） 表示 ：x是吸鸦片者

[推论11] 符号化成：
∀x （D（x）→ M（x））
∀x （Y（x）→ D（x））
∴ ∃x（Y（x）∧ M（x））

我们给出一个上面符号化公式的一个解释（构造一个反例性解释）：

[解释1]
UD: {正整数}
D（x）： x小于1
M（x）： x小于2
Y（x）： x小于0

证明：
对于前提1 的解释，∀x （D（x）→ M（x）），论域是正整数，D（x）表示x小于1，显然，x小于1 不在论域{正整数}的范围内，这个前件是假的，故结论无论真假，蕴含式都成立，故前提1为真。
对于前提2 的解释，∀x （Y（x）→ D（x）），论域是正整数，Y（x）表示x小于0，显然，x小于0 不在论域{正整数}的范围内，这个前件是假的，故结论无论真假，蕴含式都成立，故前提2为真。

再看结论， ∃x（Y（x）∧ M（x）），Y（x）表示x小于0，显然，x小于0 不在论域{正整数}的范围内，这个合取支永远是假的，所以 (Y（x）∧ M（x）) 合取的结果也永远是假的。故结论 ∃x（Y（x）∧ M（x））是假的。

综上，解释，两个前提都是真的，而结论却是假的，符合“所有前提真而结论假”，推论的反例构造成功，既然可以构造反例，所以 [推论11] 是无效的。

例12） 证明下面[推论12]是无效的。
[推论12]
任何人出名仅当他有成就或者有罪恶；
有些人没有成就；
所以，有些人有罪恶 。

要证明[推论12]无效，我们只需要构造反例。我们先进行符号化：

谓词和常项：
UD： {人}
M（x） 表示 ：x出名
C（x） 表示 ：x有成就
Z（x） 表示 ：x有罪恶

[推论12] 被符号化成：
∀x （ M（x）→ C（x）∨ M（x））
∃x ¬ C（x）
∴ ∃x Z（x）

我们给出一个上面符号化公式的一个解释（构造一个反例性解释）：

[解释1]
UD: {正整数}
M（x）： x小于1
C（x）： x等于0
Z（x）： x小于0

证明：
对于前提1 的解释，∀x （ M（x）→ C（x）∨ M（x）） ，论域是正整数，M（x）表示x小于1，显然，x小于1 不在论域{正整数}的范围内，这个前件是假的，故结论无论真假，蕴含式都成立，故前提1为真。
对于前提2 的解释， ∃x ¬ C（x），论域是正整数，C（x）表示x等于0，¬ C（x）就表示x不等于0，∃x ¬ C（x），就表示在论域{正整数} 内，至少存在一个不等于0的数x，显然这个命题是真的，故前提2为真。

再看结论， ∃x Z（x） ，Z（x）表示x小于0，显然，x小于0 不在论域{正整数}的范围内，故Z（x）是假的，所以结论 ∃x Z（x）永远是假的 。

综上，解释，两个前提都是真的，而结论却是假的，符合“所有前提真而结论假”，推论的反例构造成功，既然可以构造反例，所以 [推论12] 是无效的。

五。 确定一个谓词推论的有效性，并不存在一种万能的方法

一个谓词推论是有效的，当且仅当，该推论的所有前提的合取Pr逻辑蕴含其结论C。换言之，一个推论是有效的，当且仅当，"Pr → C“ 是一个普遍有效式。

谓词推论的有效性是命题推论的有效性的推广。

命题推论的有效性只涉及前提和结论之间的重言蕴含关系，而重言蕴含关系只是逻辑蕴含关系的一部分。我们知道，在命题逻辑中，我们可以通过真值表来判定一个推论所相应的蕴含式："Pr → C“ 是否为一个重言式，进而判定该推论是否为有效的。真值表方法为我们提供了一种判定程序或能行方法，即：我们根据真值表方法能够机械地在有穷步骤内确定任何一个命题是否为一重言式或任何一个命题推论是否为有效的。

然而，在谓词逻辑中，对于确定一个命题是一普遍有效式或一个谓词推论是有效的，并不存在一种能行的方法，因为这涉及无穷多的解释。这是谓词逻辑与命题逻辑的一个重要区别。