最短路径问题(Dijkstra)【图论】

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Case Time Limit:1000MS

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Description
平面上有$n$个点$(N<=100)$，每个点的坐标均在$-1000010000$之间。其中的一些点之间有连线。若有连线，则表示可从一个点到达另一个点，即两点间有通路，通路的距离为两点直线的距离。现在的任务是找出从一点到另一点之间的最短路径。

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Input
输入文件$short.in$，共有$n+m+3$行，其中：
第一行为一个整数$n$。
第$2$行到第$n+1$行（共$n$行），每行的两个整数$x$和$y$，描述一个点的坐标(以一个空格隔开)。
第$n+2$行为一个整数$m$，表示图中的连线个数。
此后的$m$行，每行描述一条连线，由两个整数$I,j$组成，表示第$i$个点和第$j$个点之间有连线。
最后一行：两个整数$s$和$t$，分别表示源点和目标点。

Output
输出文件$short.out$仅一行，一个实数(保留两位小数)，表示从$S$到$T$的最短路径的长度。

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Sample Input
5
0 0
2 0
2 2
0 2
3 1
5
1 2
1 3
1 4
2 5
3 5
1 5

Sample Output
3.41

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解题思路

算法解析：用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法，是一种单源最短路径算法。也就是说，只能计算起点只有一个的情况。 Dijkstra的时间复杂度是O (N2)，它不能处理存在负边权的情况。
思路：设起点为s，dis[v]表示从s到v的最短路径，用来输出路径。
我们把点分为两类，一类是已确定最短路径的点，称为“白点”，另一类是未确定最短路径的点，称为“蓝点”。
Dijkstra的算法思想，就是一开始将起点到起点的距离标记为0，而后进行n次循环，每次找出一个到起点距离dis[u]最短的点u，将它从蓝点变为白点。随后枚举所有的蓝点vi，如果以此白点为中转到达蓝点vi的路径dis[u]+w[u][vi]更短的话，这将它作为vi的“更短路径”dis[vi]（此时还不确定是不是vi的最短路径）。
就这样，我们每找到一个白点，就尝试着用它修改其他所有的蓝点。中转点先于终点变成白点，故每一个终点一定能够被它的最后一个中转点所修改，而求得最短路径。

图解走起：让我们对以上这段枯燥的文字做一番模拟，加深理解。
算法开始时，作为起点的dis[1] = 0，其他的点dis[i] = 0x7fffffff。

第一轮循环找到dis[1]最小，将1变成白点。 dis[1]=0;
对所有的蓝点做出修改，使得 dis[2]=2 dis[3]=4 dis[4]=7 dis[5]=0x7fffffff。

上代码o(￣︶￣)o

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代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,s,t,v[200],a[500][3];
double maxx=1e30;
double f[200][200],dis[200],minn;
int k=0;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i][1]>>a[i][2];
	cin>>m;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	for(int j = 1; j <= n; j++)
        f[i][j] = maxx;   //f数组初始化最大值
	int x,y;                      
	for(int i=1;i<=m;i++)//预处理x.y间距离f[x][y]
	{
		cin>>x>>y;
		f[x][y]=f[y][x]=sqrt(pow(double(a[x][1]-a[y][1]),2)+pow(double(a[x][2]-a[y][2]),2));
	}
	cin>>s>>t;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 dis[i]=f[s][i];
	 memset(v,0,sizeof(v));
	 dis[s]=0;
	 v[s]=1;
	for(int i=1;i<=n-1;i++)//查找可以更新的点
	{
		minn=maxx;
		k=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(!v[j]&&(dis[j]<minn))
			{
			    minn=dis[j];
			    k=j;	
			}
		}
		if(k==0)
		break;
		v[k]=1;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(!v[j]&&dis[k]+f[k][j]<dis[j])
			   dis[j]=dis[k]+f[k][j];
		}
	}
	cout<<fixed<<setprecision(2)<<dis[t];
}