R语言量化：alpha值和beta值

　　量化投资中经常提到的alpha（收益）和beta（收益）是从资本资产定价模型（CAPM）中衍生出来的概念。CAPM是一个给风险定价的基本模型，它认为只有系统风险（Systematic risk）才能带来收益。这是因为非系统风险（Nonsystematic risk）可以通过投资组合的方式消除掉，如果非系统风险也可以带来收益，就意味着人们可以通过构建投资组合的方式不承担风险而白得收益，这种情况下逐利的资本蜂拥而至，从而推高这种资产的价格，使其收益下降直至为零。CAPM可以写为如下的形式：

        

表示资产ｉ的风险收益只与市场的风险收益挂钩，其中系数beta度量了资产ｉ的系统风险的相对大小。式（1）的收益率给出的是期望收益率，换成实际收益率可以写成：

      

　　或者是

      

　　beta的大小如何计算？

　　上文提到beta度量的是资产ｉ的系统风险，所谓系统风险也可以理解成和市场相关的风险，可以写成协方差的形式，根据式（3）中资产收益率与市场收益率的关系有：

      

　　又因为无风险利率的风险为零，随机项ei 与Rm 相互独立，式（4）可以推导为：

      

　　从而得到：

      

　　熟悉回归的朋友可以看出这里的beta恰好是式（7）一元回归方程中的回归系数：

      

　　式（7）中的截距项alpha即式（3）中的，与我们这里讲的alpha还有所不同。理解这里说的alpha或者alpha收益，还要回到CAPM模型。式（1）给出的CAPM模型是一个理论模型，实际收益率可能与之有一定的差别，事实上实际收益率可以写成式（8）的形式：

       

　　也就是说资产ｉ的实际收益率由两部分组成，一部分是由CAPM模型计算得出的因承担了系统风险而获得的收益，即

称为beta收益，剩余的实际收益率和理论收益率相差的部分称为超额收益，也就是常说的alpha收益：

　　R语言中常用的量化分析工具包括quantmod包和PerformanceAnalytics包等，其中PerformanceAnalytics包中内置计算alpha和beta的函数。

　　CAPM.alpha(Ra, Rb, Rf = 0)

　　CAPM.beta(Ra, Rb, Rf = 0)

　　Ra  表示要计算alpha和beta的资产的收益率

　　Rb  表示市场（基准）的收益率

　　Rf   表示无风险利率，默认值为0

　　收益率的格式可以是xts、vector、matrix、data frame、timeSeries、zoo等。

　　下面我们以上证综合指数为基准，在无风险利率为0的情况下计算600030.SH这只股票的beta和alpha（数据的下载可以参考R语言量化：使用windR下载wind数据）。

library(quantmod)
library(PerformanceAnalytics)
library(rvest)
w.start()

## 读取数据
data_sh <- w.wsd('000001.SH','open,high,low,close,volume,amt,adjfactor', '19901219')
data_zx <- w.wsd('600030.SH','open,high,low,close,volume,amt,adjfactor', '20030106')
## 转化为xts格式
data_sh <- xts(data_sh$Data[, 2:8], order.by =as.Date(data_sh$Data[, 1]))
data_zx <- xts(data_zx$Data[, 2:8], order.by =as.Date(data_zx$Data[, 1]))
## 价格复权
p_sh <- data_sh$CLOSE * data_sh$ADJFACTOR
p_zx <- data_zx$CLOSE * data_zx$ADJFACTOR
## 计算收益率
r_sh <- allReturns(p_sh)
r_zx <- allReturns(p_zx)
## 以日收益率计算beta和alpha值
beta <- CAPM.beta(r_zx$daily, r_sh$daily)
alpha <- CAPM.alpha(r_zx$daily, r_sh$daily)

计算得到的收益率如下：

计算得到的beta和alpha如下：

　　也可以使用回归的方法计算beta和alpha：

## 截取两个序列时间重合的部分
r_1 <- r_zx$daily[!is.na(r_zx$daily)]   # 去除缺失值
r_2 <- r_sh$daily[!is.na(r_sh$daily)]   # 去除缺失值
date_1 <- index(r_1)                    # 序列1的日期
date_2 <- index(r_2)                    # 序列2的日期
date_both <- intersect(date_1, date_2)  # 共同的部分
v_1 <- r_1[date_1 %in% date_both] %>% as.vector  # 序列1中数据转化为vector
v_2 <- r_2[date_2 %in% date_both] %>% as.vector  # 序列2中数据转化为vector
# 回归
lm<- lm(v_1 ~ v_2)
summary(lm)

　　二者计算得到的alpha和beta是一样的。

 

参考资料：CFA一级教材 Corporate Finance and Portfolio Management