［洛谷 1313］计算系数---二项式定理+快速幂+逆元(费马小定理)

题目描述

给定一个多项式(by+ax)^k，请求出多项式展开后x^n*y^m 项的系数。
输入输出格式
输入格式：

输入文件名为factor.in。

共一行，包含5 个整数，分别为 a ，b ，k ，n ，m，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

输出共1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对10007 取模后的结果。

输入输出样例
输入样例#1：

1 1 3 1 2

输出样例#1：

3

说明

【数据范围】

对于30% 的数据，有 0 ≤k ≤10 ；

对于50% 的数据，有 a = 1，b = 1；

对于100%的数据，有 0 ≤k ≤1,000，0≤n, m ≤k ，且n + m = k ，0 ≤a ，b ≤1,000,000。

noip2011提高组day2第1题

分析

　　神奇的数学题，直接提示了二项式定理（　其实就是说杨辉三角与二项式的系数相同，与Ｃ(n,m)相同　）
　　由定理直接可以得出第x^n*y^m 项为：Ｃ(k,m)* (a*x)^n* (b*y)^m
　　化简可得其系数为：　Ｃ(k,m)　*　a^n　*　b^m
　　PS:由于二项式/杨辉三角性质可知　n+m=k　则　Ｃ(k,m)＝Ｃ(k,k-n)=Ｃ(k,n)
　　对于后二者，直接用快速幂（如果不知道，那么88，走错片场了）来求就行了．
　　对于Ｃ(k,m)，有两种方法，其一是形如杨辉三角的递推（Ｃ(k,m)＝Ｃ(k-1,m-1)+C(k-1,m)）.其二是考虑分解质因数+高精度或逆元（因为要取模）　（　Ｃ(k,m)=k!/( (m-k)!*m! )　）
　　对此仅给出逆元的解法（快速幂求逆元）
　　

---

　　1.逆元定义：对于正整数a和m，如果有 a*x≡1(mod m) { 即　a*x%m=1%m }，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做a模m的逆元。
　　2.费马小定理：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1
　　3.对于除法取模来说　(a/b)%m=((a%mo)/(b%mo))%mo　是不存在的但对于+ - * ^ 来说成立,所以说可以考虑将　(a/b)%m转化为　a*(b^-1)%mo . 当然，直接转换是不存在的，于是借助逆元进行转化
　　由于mo=10007为质数，与b＝(m-k)!* m! 互质，所以，由费马小定理可得：　b^(mo-1)=1(mod mo)　又因为　b^-1*b=1　
　　so　b^(mo-1)＝b^-1*b　–＞　b^-1=b^(mo-2)
　　于是　（令　b=(m-k)!* m!）
　　　　Ｃ(k,m)%mo=( k!/b) %mo＝( k! b^-1 )%mo=( k! *b^(mo-2))%mo=((k!%mo) ( (b%mo)^(mo-2)%mo))%mo
　　其中b^(mo-2)可用快速幂解决

代码

数论代码一般都十分丑陋
貌似不用开long long的样子

#include 
#include 
#define open(s) freopen(s".in","r",stdin); freopen(s".out","w",stdout);
#define close fclose(stdin); fclose(stdout); 
using namespace std;

int mo=10007;
int jc[1005];

inline int read()
{
    int k=1;
    int sum=0;
    char c=getchar();
    for(;'0'>c || c>'9' ;c=getchar())
        if(c=='-') k=-1;
    for(;'0'<=c && c<='9';c=getchar())
        sum=sum*10+c-'0';
    return sum*k;
}

inline void write(int x)
{
    if(x<0) { putchar('-'); x*=-1; }
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}

inline int power(int x,int t)//快速幂　　x^t
{
    if(t==1) return x;
    int s=power(x,t>>1);
    s=s*s%mo;
    return t&1?s*x%mo:s;
}

int main()
{
    open("1313");

    int a=read(),b=read(),k=read(),n=read(),m=read();
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=k;++i) jc[i]=(jc[i-1]*i)%mo;//预处理阶乘
    n%=mo; m%=mo;//由于n,m,a,b都可能比mo大，所以先取模
    a%=mo; b%=mo;

    int ans=1;
    //三部分
    ans=(jc[k]*power((jc[k-n]*jc[n])%mo,mo-2))%mo;
    ans=(ans*power(a,n))%mo;
    ans=(ans*power(b,m))%mo;

    write(ans);

    close;
    return 0;
}