HDOJ Queuing 2604【求矩阵+矩阵快速幂】
Queuing
Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 3528 Accepted Submission(s): 1590
Now we define that ‘f’ is short for female and ‘m’ is short for male. If the queue’s length is L, then there are 2 L numbers of queues. For example, if L = 2, then they are ff, mm, fm, mf . If there exists a subqueue as fmf or fff, we call it O-queue else it is a E-queue.
Your task is to calculate the number of E-queues mod M with length L by writing a program.
解题思路：
此题如果直接利用递推关系，处理不好会超内存的。
首先找出递推关系式，先给出递推关系式：( L )=( L - 1 ) + ( L - 3 ) + ( L - 4 ); 可以先尝试推导一下，推不出来再看下面的解释。
考虑当L=n时的情况，有两种情况：
①.如果最后一个字符为m ：此时，只要前面长度为n-1的串符合要求，则当前长度为n的串必然符合要求。
②.如果最后一个字符为f：此时，无法确定，因为可能存在不符合要求的串，继续分情况讨论
(1).最后倒数二个字符为f，仍然可能存在不符合要求的串，继续分情况讨论
1.倒数第三个字符为f,因为存在fff，所以该种情况必然不符合要求，舍去
2.倒数第三个字符为m，仍然有可能不符合要求，再分
a.最后第四个字符为f，存在fmf，所以该种情况必然不符合要求，舍去
b.最后第四个字符为m,只要前面长度为n-4的串符合要求，则当前长度为n的串必然也符合要求
(2).最后第二个字符为m，存在可能不符合要求的情况，分
1.最后第三个字符为f，存在fmf，此时必然不符合要求舍去
2.最后第三个字符为m，只要前面长度为n-3的串的情况符合要求，则当前长度为n的串必然符合要求。
所以讲符合要求的情况相加就得到：( L )=( L - 1 ) + ( L - 3 ) + ( L - 4 );
前面已经讲过如果只是用普通递归方法会超内存，所以这里要考虑优化。
怎么优化？先看下面的矩阵相乘的结果：
x矩阵是多少会得到后面的矩阵？我们只需考虑后面矩阵的第一行，因为其他元素为0.
第1行第1列的元素我们需要得到f ( n )，因为f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-4); 所以我们必须保留f(n-1)，f(n-3)，f(n-4) 所以与之相乘的数必须为1.
所以第1列元素可以确定，为1 0 1 1，注意，是第一列而不是第一行。
根据第一行第二列元素，我们可以确定x矩阵第二列元素：1 0 0 0.
根据第一行第三列元素，我们可以确定x矩阵第三列元素：0 1 0 0.
根据第一行第四列元素，我们可以确定x矩阵第四列元素：0 0 1 0.
所以x矩阵已经确定，所以我们可以得到下面的矩阵乘式：
所以，反复乘以x矩阵就可以得到想要的f(n);
所以可以先求出x矩阵的L-4(不是L)次方，到这就转化为了矩阵快速幂问题。然后在用 f(4) f(3) f(2) f(1) 乘以求次方后的矩阵的第一列元素 ，相加就得到f(n)=res[0][0]*f[4]+res[1][0]*f[3]+res[2][0]*f[2]+res[3[0]*f[1]。
讲解到此结束~欢迎指出错误~。
AC代码：
#include
#include
#include
#define maxn 5
using namespace std;
int mat[maxn][maxn];
int res[maxn][maxn];
int f[10];
void Matmul(int x[maxn][maxn],int y[maxn][maxn],int Mod)
{
int t[maxn][maxn]={0};
for(int i=0;i<4;i++)
for(int k=0;k<4;k++)
if(x[i][k])
for(int j=0;j<4;j++)
t[i][j]=(t[i][j]+x[i][k]*y[k][j]%Mod)%Mod;
for(int i=0;i<4;i++)
for(int j=0;j<4;j++)
x[i][j]=t[i][j];
}
void Matrix(int t[maxn][maxn],int m,int Mod)
{
for(int i=0;i<4;i++)
for(int j=0;j<4;j++)
res[i][j]=(i==j);
while(m){
if(m&1)Matmul(res,t,Mod);
Matmul(t,t,Mod);
m>>=1;
}
}
int main()
{
int L,M;
while(scanf("%d%d",&L,&M)!=EOF){
memset(f,0,sizeof(f));
f[1]=2;f[2]=4;
f[3]=6;f[4]=9;
int T[maxn][maxn]={0};
T[0][0]=T[2][0]=T[3][0]=1;
T[0][1]=T[1][2]=T[2][3]=1;
if(L==1){
printf("%d\n",2%M);
continue;
}
if(L==2){
printf("%d\n",4%M);
continue;
}
if(L==3){
printf("%d\n",6%M);
continue;
}
if(L==4){
printf("%d\n",9%M);
continue;
}
Matrix(T,L-4,M);
int ans=0;
for(int i=0;i<4;i++){
ans=(ans+res[i][0]*f[4-i])%M;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}