fzu1775（卡特兰数+逆元）

Problem 1775 Counting Binary Trees

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 Problem Description

There are 5 distinct binary trees of 3 nodes:

Let T(n) be the number of distinct non-empty binary trees of no more than n nodes, your task is to calculate T(n) mod m.

 Input

The input contains at most 10 test cases. Each case contains two integers n and m (1 ≤ n ≤ 100,000, 1 ≤ m ≤ 10^9) on a single line. The input ends with n = m = 0.

 Output

For each test case, print T(n) mod m.

 Sample Input

3 100 4 10 0 0

 Sample Output

8 2

 Source

2009 NIT Cup National Invitation Contest

 

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解析：卡特兰数的大数取模，求逆元

当式子带除法时, 这里的做法是把除法变为乘法, 再用上面的方法来解.我们知道,a / b % m == a * ((b^-1) % m) % m, 其中b^-1是b关于m的逆元, 可用扩展欧几里德求得,但是前提条件是b与m互质, 而这题的m是任意的, 所以不能直接求逆元, 但可以通过一些处理使得互质条件满足.其实只需要把答案看做两部分的乘积：一部分是与m互素的，这一部分的乘法直接计算，除法改成乘逆元就行了；另一部分是若干个m的素因子的乘积，因为m<1,000,000,000，所以m的不同素因子不会太多，用一个数组记录每一个素因子的数量就行。这一部分的乘法(4*i-2)就是把记录的素因子数量相加，除法(i+1)就是把记录的素因子数量相减。最后计算这两部分的乘积对m的取模，也就是h(i)%m,递推求和。

#include
#include
#include
using namespace std;
//1 ≤ n ≤ 100,000, 1 ≤ m ≤ 10^9
//计算第n个卡特兰数%m  即h(n)=(2n)!/(n!*(n+1)!)%m
//h(0)=1，h(i)=h(i-1)*(4*i-2)/(i+1)。

int n,m;
int sm[1000],p;//将m分解质因数
int sa[1000];//4*i-2 和 i+1 分解质因数
//素数筛选
int flag[50000],pri[50000],pl;
void prime()
{
    for(int i=2;i<50000;i++)
    {
        if(flag[i]==0) pri[pl++]=i;
        for(int j=0;j1) sm[p++]=tm;//important
    memset(sa,0,sizeof(sa));
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int t;
        t=4*i-2;
        for(int j=0;j1)
        {
            int x,y;
            int r=extgcd(t,m,x,y);
            x=(x%m+m)%m;
            res=res*x%m;
        }
        __int64 tmp=res;
        for(int j=0;j