线性代数笔记1——四个基本子空间与方程组的解

1.向量空间与线性子空间

了解四个基本子空间前先了解向量空间与子空间的概念

向量空间：设$S$为n维向量的非空集合，其对$S$中（线性变换）向量加法与数乘运算封闭，则$S$是一个向量空间

线性子空间：设$V$为$S$的非空子集合，其对$V$中（线性变换）向量加法与数乘运算封闭，则称$V$为$S$的线性子空间

2.齐次线性方程组的四个基本子空间

四个基本子空间分别是：行空间，列空间，零空间，右零空间

存在一个$m\ast n$矩阵$A$

行空间：以$A$的行向量为基所生成的空间为行空间，记为$R(A)$，行空间为$R^n$的子空间
列空间：以$A$的列向量为基所生成的空间为列空间，记为$C(A)$，列空间为$R^m$的子空间

通俗一点：
n可以理解为未知数个数
m可以理解为方程组个数

矩阵$A$与向量$x$相乘，因为向量$x$的行数需要和矩阵$A$的列数匹配，即元素个数和行向量元素个数相等（那是自然，因为方程组列数就是未知数个数），所以向量$x$也是$R^n$的子空间。

由此可得到矩阵相乘的意义之一：将向量$x$向列空间映射，成为列空间中的子空间。（向量$x$为矩阵同理）

那么齐次线性方程组$Ax=0$是否有解可以理解为，是否存在向量$x$映射到矩阵$A$的列空间时为零向量，当向量$x$存在时，其所有组合而成的集合就是为齐次方程组的解空间，也称为零空间，记为$N(A)$。

矩阵$A$的转置为$A^T$,可以知道$A$的行向量变为$A^T$的列向量，$A$的列向量变为$A^T$的行向量，那么有：
$$R(A)=C(A^T)$$$$C(A)=R(A^T)$$
那么问题来，什么是左零空间，其实根据字面意思可以解释为在矩阵A左边的解空间，我们令解空间为一个$y$向量，因为向量$y$与矩阵$A$的列向量元素个数匹配，所以需要对$y$进行转置，得到$y^{T}A=0$，所以$y^T$可以形象的称为矩阵$A$的左零空间，记为$N(A^T)$。

3.矩阵的秩

那么行空间与零空间，列空间与左零空间之间有什么关系呢？

行空间维度+零空间维度=n维空间（矩阵$A$的列数=未知数个数）
$$dim(R^n)=dim(R(A))+dim(N(A))$$
列空间维度+左零空间维度=m维空间（矩阵$A$的行数=方程组个数）
$$dim(R^m)=dim(C(A))+dim(N(A^T))$$

因为$Ax=0$其实可以看成各行向量与零空间做内积为0，根据内积为0，我们可以推出行空间其实是和零空间相互正交的，所以所有与行空间线性无关的基都在零空间中。我们知道在向量空间中，线性无关基的数量为空间的维数，又因为零空间与行空间在同一个空间中，且行空间的最大线性无关组$\in$$R^n$的最大线性无关组。

所以有行空间最大线性无关组+零空间最大线性无关组=n维空间线性最大线性无关组

同理，列空间与左零空间有：列空间最大线性无关组+左零空间最大线性无关组=m维空间线性最大线性无关组

线性代数中以秩刻画矩阵的维度，行秩为行空间维度，列秩为列空间维度，且行秩等于列秩，并且等于矩阵的秩，上述表达可以转换为：
$$dim(R^n)=Rank(A)+dim(N(A))$$

$$dim(R^m)=Rank(A)+dim(N(A^T))$$

4.非齐次线性方程组的解

回到刚刚齐次线性方程组$Ax=0$，我们已知，其解为向量$x$映射到矩阵$A$的列空间时为零向量，那么到非齐次方程组$Ax=b$，可以理解为是否存在向量$x$映射到矩阵$A$的列空间时为b向量，这里存在三种情况：

无解：b向量不在列空间上，判断依据$Rank(A)$<$Rank([A|b])$
唯一解：b向量在列空间上，$Rank(A)=n，dim(N(A))=0，Rank(A)=Rank([A|b])$
无限多个解:b向量在列空间上，$Rank(A)<n，dim(N(A))>0，Rank(A)=Rank([A|b])$

若非齐次方程组$Ax=b$ 有解，其解可以表示为：
$$A(C{x}_n+x_p)=b$$
$$x=C{x}_n+x_p$$
其中$x_n$为零空间的解，$x_p$为特解，C为任意常数，可以理解为只要找到其中一个特解，b向量可以用零向量与特解对列空间线性组合之和表示，当求齐次方程时$x_n=0$也符合。