逆元的求法

预防针：本文排版很乱，介绍概念时并不专业（不过能用就好了）

这里有专业的讲解，但是我不怎么看的懂就是了：https://blog.csdn.net/xiaoming_p/article/details/79644386

Part I 概念介绍：

我们想要（A/B）%P，其中A,B代表一个式子，因此可能本身A,B就超过自己的数据范围，都爆了，还怎么除呢？

我们能想到的是（A%P）/（B%P）%P  （A%P具体举栗子就是A = a*b，然后（a%P）*（b%P）%P）

不过这样算出来的答案是错误的，很明显啦，因为是除法呀。（总的来说我讲不清）

所以我们用乘法做，乘法各自取模再相乘是不会出错的。

（A%P）*（（1/B）%P）%P

但是很明显1/B是个小数啊。。。

所以我们要找一个数X，使得A*X%P = (A/B)%P

X就是B 在 模 P 下的逆元

Part II：逆元的求法

① 利用一个结论：（适用于P是质数）

当P为质数时：X^P %P = X%P

我们左右各除X^2,得到：X^(P-2) %P =(1/X)%P

因此，结论为：求B在P下的逆元，只要P是质数，B的逆元 = B^(P-2)

因为P可能很大，所以用快速幂。

代码：

#include
#include
#define ll long long
#define mod (ll)1000000007

using namespace std;

ll fast_power(ll a,ll b)
{
    ll ans = 1;
    while (b){
        if (b&1) ans = (ans*a)%mod;
        b >>=1;
        a = (a*a)%mod;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll a;
    printf("输入一个数求它在模1e9+7下的逆元\n");
    scanf("%lld",&a);
    ll ans = fast_power(a,mod-2);
    printf("%lld%在 1e9+7 下的逆元=%lld\n",a,ans);
    return 0;
}

②利用exgcd（扩展欧几里得算法）求解二元一次方程（P是不是质数都可以）

关于exgcd可以参考这篇：https://blog.csdn.net/weixin_43768644/article/details/94771375

又有一个结论：

A在模P下的逆元X，满足  A*X%P = 1%P   （已知X%P = （1/A）%P对吧，两边乘A就可以了）

这个式子可以理解为 A*X = 1+k*P，就是A*逆元 = 整数倍的P+1

A,P已知，那么就变成了二元一次方程：A*X-k*P = 1       的求解问题，用exgcd即可

然后：一定要扔P，不要扔-P到exgcd。

扔-P你求的是

A*x - P*y = (gcd(A,-P)=-1)的解 

扔P求的是

A*x + P*（-y）=(gcd(A,P)=1)       ///虽然y反了，但是x没有问题

根据exgcd存在解的先决条件来看（上面那篇里面有讲到），（A/B）%P，B存在逆元的条件是A,B互质，因为exgcd只能求

ax+by=gcd(a,b)的解，如果a，b互质，那么gcd(a,b)>1，原式无解

代码：

#include
#include
#define ll long long
#define mod (ll)1000000007

using namespace std;

void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y)
{
    if (b==0){x = 1;y = 0;}
    else {
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y = y - (a/b)*x;
    }
}

int main()
{
    ll a;
    printf("输入一个数，求它在1e9+7下的逆元\n");
    scanf("%lld",&a);
    ll x,y;
    exgcd(a,mod,x,y);///bx + p(-y) = 1
    x = (x+mod)%mod;
    printf("%lld%在 1e9+7 下的逆元=%lld\n",a,x);
    return 0;
}