欧拉定理、费马小定理和扩展欧拉定理

欧拉定理、费马小定理和扩展欧拉定理

①Theorem Eular

theorem:∀gcd(a,p)=1aφ(p)≡1(modp) t h e o r e m : ∀ gcd ( a , p ) = 1 a φ ( p ) ≡ 1 ( mod p )

证明：
设表示与p互质的数的数组 {k1,k2,k3⋯kφ(p)} { k 1 , k 2 , k 3 ⋯ k φ ( p ) } 使得 gcd(ki,p)=1 gcd ( k i , p ) = 1
再设另一个数组 {m1,m2,m3⋯mφ(p)} { m 1 , m 2 , m 3 ⋯ m φ ( p ) } 使得 mi=aki m i = a k i
有两个推论
1.

gcd(mimodp,p)=1 gcd ( m i mod p , p ) = 1
∵gcd(a,p)=1,gcd(ki,p)=1∴gcd(aki,p)=1 ∵ gcd ( a , p ) = 1 , g c d ( k i , p ) = 1 ∴ gcd ( a k i , p ) = 1
∴gcd(mimodp,p)=1 ∴ gcd ( m i mod p , p ) = 1

2.

∀i<j<φ(p)mi≢mj(modp) ∀ i < j < φ ( p ) m i ≢ m j ( mod p )
mi−mj=np→a(ki−kj)=np m i − m j = n p → a ( k i − k j ) = n p
∵gcd(a,p)=1,ki≠kj,max{ki}<p ∵ gcd ( a , p ) = 1 , k i ≠ k j , max { k i } < p
∴gcd(a,p)=1,ki≢kj(modp) ∴ gcd ( a , p ) = 1 , k i ≢ k j ( mod p )
∴aki≢akj(modp)∴mi≢mj(modp) ∴ a k i ≢ a k j ( mod p ) ∴ m i ≢ m j ( mod p )

这样可以得出 mi m i 和 ai a i 对于p取模可一一对应
∴∏1≤i≤φ(p)mi≡∏1≤i≤φ(p)ki(modp) ∴ ∏ 1 ≤ i ≤ φ ( p ) m i ≡ ∏ 1 ≤ i ≤ φ ( p ) k i ( mod p )
∴aφ(p)∏1≤i≤φ(p)ki≡∏1≤i≤φ(p)ki(modp) ∴ a φ ( p ) ∏ 1 ≤ i ≤ φ ( p ) k i ≡ ∏ 1 ≤ i ≤ φ ( p ) k i ( mod p )
∴aφ(p)≡1(modp) ∴ a φ ( p ) ≡ 1 ( mod p )

②Theorem Fermat

theorem:∀gcd(a,p)=1,p is a primeap−1≡1(modp) t h e o r e m : ∀ g c d ( a , p ) = 1 , p   i s   a   p r i m e a p − 1 ≡ 1 ( mod p )

证明：
因为 p是质数， φ(p)=p−1 φ ( p ) = p − 1 ,由Theorem Eular ,可知
∀gcd(a,p)=1,p is a primeap−1≡1(modp) ∀ g c d ( a , p ) = 1 , p   i s   a   p r i m e a p − 1 ≡ 1 ( mod p )

③Theorem Eular Ext

theorem:∀a,x,m,φ(m)≤xax≡axmodφ(m)+φ(m)(modm) t h e o r e m : ∀ a , x , m , φ ( m ) ≤ x a x ≡ a x mod φ ( m ) + φ ( m ) ( mod m )

去证明它应有两个引理：

引理1:

x≡y(modm1)    x≡y(modm2)   →x≡y(modLCM(m1,m2)) x ≡ y ( mod m 1 )         x ≡ y ( mod m 2 )       → x ≡ y ( mod L C M ( m 1 , m 2 ) )

推理得:
1.

x≡y(modm1)   x≡y(modm2) x ≡ y ( mod m 1 )       x ≡ y ( mod m 2 )

当gcd(m1,m2)=1,x≡y(modm1m2) 当 gcd ( m 1 , m 2 ) = 1 , x ≡ y ( mod m 1 m 2 )

2. ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x≡y(modm1)x≡y(modm2)x≡y(modm3)⋯x≡y(modmk) { x ≡ y ( mod m 1 ) x ≡ y ( mod m 2 ) x ≡ y ( mod m 3 ) ⋯ x ≡ y ( mod m k ) →x≡y(modLCM(m1m2m3⋯mk)) → x ≡ y ( mod L C M ( m 1 m 2 m 3 ⋯ m k ) )

引理2:

当 p p 时, φ(pq)=(p−1)pq−1≥q φ ( p q ) = ( p − 1 ) p q − 1 ≥ q

Proof: P r o o f :
首先我们证明 当 m=pq时定理成立 当   m = p q 时 定 理 成 立
1.
当 gcd(a,p)=1 gcd ( a , p ) = 1 , gcd(pq,a)=1 gcd ( p q , a ) = 1 得知 aφ(pq)≡1(modpq) a φ ( p q ) ≡ 1 ( mod p q ) (Theorem Eular)
由此可推知 ax=axmodφ(m)+kφ(m)≡axmodφ(m)+φ(m)(modm) a x = a x mod φ ( m ) + k φ ( m ) ≡ a x mod φ ( m ) + φ ( m ) ( mod m )
2.
当 gcd(a,p)=pk gcd ( a , p ) = p k
∵x≥φ(m)≥q,xmodφ(m)+φ(m)≥q ∵ x ≥ φ ( m ) ≥ q , x mod φ ( m ) + φ ( m ) ≥ q
∴ax≡0≡axmodφ(m)+φ(m)(modm) ∴ a x ≡ 0 ≡ a x mod φ ( m ) + φ ( m ) ( mod m )
由引理1,当 m=m1m2m3⋯mk=pq11pq22pq33⋯pqkk m = m 1 m 2 m 3 ⋯ m k = p 1 q 1 p 2 q 2 p 3 q 3 ⋯ p k q k
∴gcd(m1,m2,m3,⋯,mk)=1 ∴ gcd ( m 1 , m 2 , m 3 , ⋯ , m k ) = 1
∴LCM(m1,m2,m3,⋯,mk)=m1m2m3⋯mk ∴ L C M ( m 1 , m 2 , m 3 , ⋯ , m k ) = m 1 m 2 m 3 ⋯ m k
∴ax≡axmodφ(m)+φ(m)(modm1m2m3⋯mk) ∴ a x ≡ a x mod φ ( m ) + φ ( m ) ( mod m 1 m 2 m 3 ⋯ m k )
∴ax≡axmodφ(m)+φ(m)(modm) ∴ a x ≡ a x mod φ ( m ) + φ ( m ) ( mod m )
证毕。