关于梯度下降法、牛顿法、高斯-牛顿、LM方法的总结

线性最小二乘问题，我们可以通过理论推导可以得到其解析解，但是对于非线性最小二乘问题，则需要依赖迭代优化的方法，。
梯度下降主要是从一阶目标函数的一阶导推导而来的，形象点说，就是每次朝着当前梯度最大的方向收敛；二牛顿法是二阶收敛，每次考虑收敛方向的时候，还会考虑下一次的收敛的方向是否是最大（也就是梯度的梯度）。可以参考下图：

红线为牛顿法，绿线为梯度下降。

高斯-牛顿和LM法则主要是针对非线性最小二乘问题提出的解决方案。由于牛顿法需要求解二阶导，也就是hessian matrix，运算量大，不利于实现，，所以通常在牛顿法的基础上用去掉二阶项，用一阶项来近似二阶导，从而保证了计算效率。LM方法，则是由于高斯-牛顿方法在计算时需要保证矩阵的正定性，于是引入了一个约束，从而保证计算方法更具普适性。

1.梯度下降与牛顿法[2]
梯度下降法：
梯度是上升最快的方向，那么如果我想下山，下降最快的方向呢，当然是逆着梯度了（将一点附近的曲面近似为平面），这就是梯度下降法，由于是逆着梯度，下降最快，又叫最速下降法。（一句话就是，朝着梯度方向收敛，可以参考梯度的定义）

迭代公式：
b=a−γ∇F(a) b = a − γ ∇ F ( a ) , γ γ 是步长。

牛顿法：
最优化问题中，牛顿法首先则是将问题转化为求 f‘(x) = 0 这个方程的根。
首先得到一个初始解 x0，
一阶展开： f′(x)≈f‘(x0)+(x－x0)f′′(x0) f ′ ( x ) ≈ f ‘ ( x 0 ) + ( x － x 0 ) f ″ ( x 0 )
令 f‘(x0)+(x－x0)f′′(x0)=0 f ‘ ( x 0 ) + ( x － x 0 ) f ″ ( x 0 ) = 0
求解得到x，相比于x0， f‘(x)<f′(x0) f ‘ ( x ) < f ′ ( x 0 )

总结一下，就是牛顿法对目标函数的一阶导再求导，即可算出收敛的方向。

优缺点：
梯度法：又称最速下降法，是早期的解析法，收敛速度较慢。
牛顿法：收敛速度快，但不稳定，计算也较困难。

2.高斯牛顿和LM方法
推导过程可以参考
http://blog.csdn.net/zhubaohua_bupt/article/details/74973347
http://fourier.eng.hmc.edu/e176/lectures/NM/node36.html
http://blog.csdn.net/dsbatigol/article/details/12448627

需要注意的是 高斯牛顿方法 在求解hessian matrix时 做了一个简化

目标函数可以简写：
S=∑mi=1r2i S = ∑ i = 1 m r i 2

梯度向量在方向上的分量：
gj=2∑mi=1ri∂ri∂βj g j = 2 ∑ i = 1 m r i ∂ r i ∂ β j （1）

Hessian 矩阵的元素则直接在梯度向量的基础上求导：
Hjk=2∑mi=1(∂ri∂βj∂ri∂βk+ri∂2ri∂βj∂βk). H j k = 2 ∑ i = 1 m ( ∂ r i ∂ β j ∂ r i ∂ β k + r i ∂ 2 r i ∂ β j ∂ β k ) .

高斯牛顿法的一个小技巧是，将二次偏导省略，于是：
Hjk≈2∑mi=1JijJik H j k ≈ 2 ∑ i = 1 m J i j J i k （2）

将(1)(2)改写成 矩阵相乘形式：
g=2Jr⊤r,H≈2Jr⊤Jr. g = 2 J r ⊤ r , H ≈ 2 J r ⊤ J r .

Levenberg-Marquardt方法：
高斯-牛顿法中为了避免发散，有两种解决方法
1.调整下降步伐： βs+1=βs+α Δ.0<α<1 β s + 1 = β s + α   Δ . 0 < α < 1
2.调整下降方向： (JTJ+λD)Δ=JTr ( J T J + λ D ) Δ = J T r

λ→+∞ λ → + ∞ 时： Δ/λ→JTr Δ / λ → J T r ，即方向和梯度方向一样，变成了梯度下降法。

相反，如果λ为0，就变成了高斯牛顿法。
Levenberg-Marquardt方法的好处在于可以调节:
如果下降太快，使用较小的λ，使之更接近高斯牛顿法
如果下降太慢，使用较大的λ，使之更接近梯度下降法

此外，高斯牛顿法中涉及求逆矩阵的操作， (JTJ) ( J T J ) 加入λ 也可以保证该矩阵为一个正定矩阵。

【reference】:
[1]http://fourier.eng.hmc.edu/e176/lectures/NM/node36.html 【理论推导很完善】
[2].http://blog.csdn.net/dsbatigol/article/details/12448627

有关梯度下降法：
http://www.cnblogs.com/shixiangwan/p/7532858.html
https://www.zhihu.com/question/19723347
http://www.cnblogs.com/maybe2030/p/5089753.html
梯度下降与牛顿法：
https://www.cnblogs.com/shixiangwan/p/7532830.html